Generalización de $(n + 3) ^ 2-(n + 2) ^ 2-(n + 1) ^ 2 + n ^ 2 = 4$

Question

Después de ver el poco aseado identidad $(n+3)^2-(n+2)^2-(n+1)^2+n^2=4$ en algún lugar sobre el MSE, traté de generalización de este a mayor consecutivos de poderes en la forma $\sum_{k=0}^\epsilon_k(n+k)^p=C$, donde $C$ es una constante y $\epsilon_k=\pm1$. He descubierto un relativamente simple algoritmo para generar estos patrones: simplemente tomar $(n+2^p-1)^p$ y restar $(n+2^p-2)^p$ ($n\n-1$) para obtener un polinomio de grado p $-1$. Tomar esta diferencia y restar $(n+2^p-3)^p-(n+2^p-4)^p$ ($n\n-2$) para obtener un polinomio de grado $p-2$. Repita este proceso hasta $n^p$ es llegar. Los primeros ejemplos de esto son $$ \begin{align} n^0 y=1\\ (n+1)^1-n^1&=1\\ (n+3)^2-(n+2)^2-(n+1)^2+n^2&=4\\ (n+7)^3-(n+6)^3-(n+5)^3+(n+4)^3-(n+3)^3+(n+2)^3+(n+1)^3-n^3&=48 \end{align} $$ Después de hacer esto durante los próximos poderes y la comprobación de OEIS, parece ser la constante correspondiente a la potencia $p$ es $$\gran C_p=2^{\frac{p(p-1)}2} p!$$ Sin embargo, esta es una observación solamente, y no tengo idea de cómo ir sobre la pruebe. La única cosa que noto es que $\frac{p(p-1)}{2}=\sum\limits_{k=1}^{p-1}k$, pero no sé cómo usar este hecho. Hace cualquiera sabe cómo para probar esta observación?

Answer 1

Deje que $X = \mathbb{R}^{\mathbb{Z}}$ ser el espacio de los reales valores de secuencias definidas de más de $\mathbb{Z}$. Vamos a $R : X \a X$ ser el operador en $X$ sustitución de los términos de una secuencia por quienes están en su derecho. Más precisamente,

$$X \ni (\ell_n)_{n\in\mathbb{Z}} \quad\mapsto\quad ( (R\ell)_n = \ell_{n+1} )_{n\in\mathbb{Z}} \in X$$ Las identidades que usted tiene puede ser reescrita como

$$\begin{array}{rcl} (R - 1)n^1 &=& 1\\ (R^2-1)(R-1) n^2 &=& 4\\ (R^4 - 1)(R^2-1)(R-1) n^3 &=& 48\\ &\vdots&\\ (R^{2^{p-1}}-1)(R^{2^{p-2}}-1)\cdots(R^{2^0}-1) n^{p} &\stackrel{?}{=}& C_p = ???\la etiqueta{*1} \end{array}$$

Aviso para cualquier polinomio $f(n)$ de grado $p$ y líder en el coeficiente a,

$$f(n) = a n^p + a' n^{p-1} + ( \text{algo de grado }< p-1 )$$ Tenemos

$$\begin{align} (R^{2^{p-1}} - 1) f(n) & = \Left((n+2^{p-1})^p - n^p \right) + '\left((n+2^{p-1})^{p-1} - n^{p-1}\right) + \cdots\\ &= P2^{p-1} n^{p-1} + ( \text{lío con el grado }< p-1 )\\ \end{align} $$ Esto significa $(R^{2^{p-1}}-1)f(n)$ será un polinomio con grado $p-$ 1 y coeficiente inicial $A \cdot p 2^{p-1}$. Repita la aplicación de este a la última ecuación en $(*1)$ a $p$ veces, nos encontramos con el lado izquierdo de la última ecuación es igual a un polinomio con grado $0$. es decir, $C_p$ es de hecho una constante. Además, $$C_p = 1 (p 2^{p-1} )((p-1) 2^{p-2}) \cdots (2 \cdot 2^{1}) (1 \cdot 2^{0}) = p! 2^{(p-1)+(p-2)+\cdots + 1} = p!2^{\frac{p(p-1)}{2}}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que dado que $R$ y $1$ el viaje, $$ R^{2^k}-1=\left[\sum\limits_{j=0}^{2^k-1}R^j\right](R-1)\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \prod_{k=0}^{n-1}\left(R^{2^k}-1\right)x^n &=\left[\prod_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{2^k-1}R^j\right](R-1)^nx^n\etiqueta{2a}\\ &=\left[\prod_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{2^k-1}R^j\right]n!\la etiqueta{2b}\\ &=\left[\prod_{k=0}^{n-1}2^k\right]n!\la etiqueta{2c}\\[6pt] Y=2^{n(n-1)/2}\,n!\la etiqueta{2d} \end{align} $$ Explicación:
$\text{(2a)}$: aplicar $(1)$
$\text{(2b)}$: $n^\text{th}$ forward diferencia de $x^n$ es $n!$
$\text{(2c)}$: en una constante en la secuencia, $R^j=1$
$\text{(2d)}$: $\sum\limits_{k=0}^{n-1}k=n(n-1)/2$