Conjuntos ortonormales en Espacios de Hilbert

Question

deje $H$ ser un espacio de Hilbert y sea M una densa lineal subespacio de H. Podemos encontrar una completa ortonormales set $\{u_{\alpha}: \alpha \in A\}$ para H en M?

Creo que la respuesta es negativa en general, pero no puedo encontrar un contraejemplo. Muchas gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Su pregunta es equivalente a la siguiente: ¿cada pre-espacio de Hilbert (= producto interior en el espacio) $M$ admite una base ortonormales?

Resulta que la respuesta es "no". Un contra-ejemplo puede ser encontrado en N. Bourbaki del Topológicos, Espacios Vectoriales, el Ejercicio V. 2.2.

Traté de resolver el ejercicio, pero no estoy muy seguro de que yo entendí.

Deje $H_1=\ell_2(\mathbb N)$, e $H_2=\ell_2(I)$ donde $I$ es un conjunto de cardinalidad $\mathfrak c$ (el continuo). Elegir un linealmente independientes de la familia $(x_i)_{i\in I}\subset H_1$, y una base ortonormales $(e_i)_{i\in I}$$H_2$. Ahora vamos a $H:=H_1\oplus H_2$$M:={\rm span}\,\{ x_i\oplus e_i;\; i\in I\}\subset H$. Vamos a tratar de mostrar que $M$ admite no ortonormales.

En primer lugar, tenga en cuenta que, la identificación de $H_2$$\{ 0\} \oplus H_2\subset H$,$M\cap H_2=\{ 0\}$. Esto es bastante fácil de comprobar mediante el hecho de que el $x_i$ son linealmente independientes.

Ahora, vamos a mostrar que cualquier ortonormales de la familia $\mathcal Z\subset M$ es contable. Para ver esto, elegir una base ortonormales $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ $H_1=\ell_2(\mathbb N)\subset H$ y observe que para cualquier $n\in\mathbb N$, $\langle f_n, z\rangle=0$ para todos, pero countably muchos $z\in\mathcal Z$, debido a $\sum_{z\in\mathcal Z}\vert \langle f_n,z\rangle\vert^2<\infty$. Ya por el anterior comentario, cualquier $z\in\mathcal Z$ debe satisfacer $\langle f_n ,z\rangle\neq 0$ durante al menos un $n\in\mathbb N$ (de lo contrario tendríamos $z\in H_1^{\perp}=H_2$ y, por tanto,$z=0$), se deduce que el $\mathcal Z$ debe ser contable. De hecho, tenemos $\mathcal Z=\bigcup_{n\in\mathbb N} \mathcal Z_n$ donde $\mathcal Z_n=\{ z;\; \langle f_n,z\rangle\neq 0\}$ es contable para cada una de las $n$.

De ello se sigue que si $M$ fueron admitir una base ortonormales, entonces sería separable. Pero esto no es posible porque $\pi_2(M)$ es denso en $H_2$ (ya que contiene todos los vectores $e_i$) y $H_2$ es no separable.

Answer 2

considere la posibilidad de $X:=\left\{A\in\mathcal{P}\left(M\right): A \text{ is an ON-System }\right\}$$\subseteq$. Obviamente cada parcialmente ordenado de la cadena de $C$ tiene un límite superior en $X$: simplemente considerar $\cup_{a\in C}a$. Por Zorn obtenemos que existe al menos un elemento maximal de a $X$. Tomar el elemento maximal, por definición, es un ortonormales de Hilbert-base.

ver comentarios. no voy a borrar este. (para la documentación)