10 votos

Hallar el área del triángulo ABC, dadas las coordenadas de los vértices en el plano

$A, B$ y $C$ son los puntos $(7,3), (-4,1)$ y $(-3,-2)$ respectivamente. Halla el área del triángulo $ABC$ .

He calculado las longitudes de cada lado del triángulo que son $AB=5\sqrt5$ , $BC=\sqrt10$ y $AC=5\sqrt5$ .

Sé que la fórmula del área de un triángulo es $\frac12hb$ pero al comprobar las soluciones la respuesta al área de este triángulo es $17\frac12$ .

No entiendo cómo se consigue esta respuesta.

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Todo el mundo ha oído hablar de la Fórmula de los cordones ?

4 votos

Otra forma sería también dibujar un rectángulo alrededor del triángulo y restar cada sección no incluida en el triángulo, pero necesitarías la gráfica para ello.

3 votos

Buenos comentarios arriba. Otra forma es explotar es.wikipedia.org/wiki/Teorema de Pick%27s

13voto

N. F. Taussig Puntos 8718

Dado que has obtenido la longitud de cada lado, utilizar la Fórmula de Herón es una forma natural de encontrar el área. Consideremos el enfoque sugerido por suomynonA en los comentarios. Considera la figura de abajo.

triangle_inscribed_in_a_rectangle

Podemos encontrar el área de $\triangle ABC$ restando la suma de las áreas de los tres triángulos rectos $ABD$ , $ACF$ y $BCE$ del área del rectángulo $ADEF$ . Le dejaré los detalles de los cálculos a usted.

8voto

Frank Puntos 41

Seguimiento

Como ha dicho antes, las longitudes laterales de $\triangle ABC$ es $AB=AC=5\sqrt{5}$ , $BC=\sqrt{10}$ utilizando la fórmula de Heron, podemos calcular la respuesta.

La fórmula de Heron establece que dadas las longitudes de los lados $a,b,c$ de $\triangle ABC$ el área está dada $$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\tag{1}$$ Dónde $s$ Es el semiperímetro. ( $s=\frac {a+b+c}{2}$ ).

Así que en su caso, tenemos $$a=5\sqrt{5},b=5\sqrt{5},c=\sqrt{10}\tag{2}$$ El semiperímetro es $$\frac {10\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}\tag{3}$$ y al introducir los valores, tenemos $$\sqrt{\frac {10\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}\left(\frac {10\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}-5\sqrt{5}\right)\left(\frac {10\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}-5\sqrt{5}\right)\left(\frac {10\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{10}\right)}=\boxed{17.5}\tag{4}$$

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Ahora lo entiendo, pero ¿cómo puedo escribir esto en una calculadora para obtener el resultado correcto? Gracias.

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@Dan Hm... Si tuviera que resolver los radicales desordenados, primero lo escribiría y luego desglosaría las partes. Así que primero calcularía lo que $\frac {10\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}-5\sqrt{5}$ es, entonces $\frac {10\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{10}$ y así sucesivamente...

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@Dan Además, ten en cuenta que en una calculadora, si presionas Alpha, luego Y= y 1, entonces tienes la opción de escribir tus fracciones en $\frac ab$ forma. Así es mucho más ordenado.

7voto

user346279 Puntos 83

Método 1 $$\Delta= \frac12\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2& y_2 & 1\\ x_3& y_3 & 1 \end{vmatrix}$$ Método 2 Esto también se puede utilizar para encontrar el área del polígono. $$\Delta= \frac12\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2& y_2 \\ x_3& y_3 \\ x_1 &y_1 \end{vmatrix}=\frac12\left ((x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(x_2y_1+x_3y_2+x_1y_3)\right)$$

6voto

egreg Puntos 64348

Puede utilizar $BC$ como la base y medir la altura con respecto a ella como la distancia de un punto a una línea. Si la recta tiene la ecuación $ax+by+c=0$ entonces la distancia desde el punto $(x_0,y_0)$ a la línea es $$ \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

La línea $BC$ tiene la ecuación $$ \frac{y-1}{-2-1}=\frac{x+4}{-3+4} $$ o, de forma simplificada, $$ 3x+y+11=0 $$ La distancia de $A$ a la línea $BC$ es $$ \frac{|3\cdot7+3+11|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{35}{\sqrt{10}} $$ Por lo tanto, el área es $$ \frac{1}{2}\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{35}{\sqrt{10}}=\frac{35}{2}=17+\frac{1}{2} $$

En realidad, existe una fórmula mucho más sencilla cuando uno de los puntos es el origen. Supongamos que queremos determinar el área del triángulo $OBC$ , donde $B(x_1,y_1)$ y $C(x_2,y_2)$ . La línea que pasa por $B$ y $C$ tiene la ecuación $$ (y_1-y_2)(x-x_2)-(x_1-x_2)(y-y_2)=0 $$ o, de forma simplificada, $$ (y_1-y_2)x-(x_1-x_2)y+x_1y_2-x_2y_1=0 $$ Según la fórmula anterior, la distancia de $O$ a la línea se obtiene utilizando $x_0=0$ y $y_0=0$ Así que es $$ \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{(y_1-y_2)^2+(x_1-x_2)^2}} $$ y en el denominador se reconoce la longitud de $BC$ , por lo que el área es $$ \frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|= \frac{1}{2} \left| \det\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} \right| $$ Pues bien, su triángulo puede considerarse que tiene el origen como uno de sus vértices, por la cartografía de traslación $A$ ¡al origen! Las nuevas coordenadas de $B$ y $C$ en el marco de referencia trasladado son $$ (-4-7,1-3)=(-11,-2) \qquad\text{and}\qquad (-3-7,-2-3)=(-10,-5) $$ por lo que el área es $$ \frac{1}{2} \left| \det\begin{bmatrix} -11 & -10 \\ -2 & -5 \end{bmatrix} \right|=\frac{1}{2}\lvert-55+20\rvert=\frac{35}{2} $$

En general, al hacer implícitamente la traslación, el área del triángulo con vértices en $(x_0,y_0)$ , $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ puede calcularse como $$ \frac{1}{2} \left| \det\begin{bmatrix} x_1-x_0 & x_2-x_0 \\ y_1-y_0 & y_2-y_0 \end{bmatrix} \right| $$

4voto

iGEL Puntos 2091

Cuando tienes las tres longitudes de los lados de un triángulo entonces puedes usar La fórmula de Heron para encontrar la zona:

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , donde $s=\frac{a+b+c}{2}$

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