Puede utilizar $BC$ como la base y medir la altura con respecto a ella como la distancia de un punto a una línea. Si la recta tiene la ecuación $ax+by+c=0$ entonces la distancia desde el punto $(x_0,y_0)$ a la línea es $$ \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
La línea $BC$ tiene la ecuación $$ \frac{y-1}{-2-1}=\frac{x+4}{-3+4} $$ o, de forma simplificada, $$ 3x+y+11=0 $$ La distancia de $A$ a la línea $BC$ es $$ \frac{|3\cdot7+3+11|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{35}{\sqrt{10}} $$ Por lo tanto, el área es $$ \frac{1}{2}\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{35}{\sqrt{10}}=\frac{35}{2}=17+\frac{1}{2} $$
En realidad, existe una fórmula mucho más sencilla cuando uno de los puntos es el origen. Supongamos que queremos determinar el área del triángulo $OBC$ , donde $B(x_1,y_1)$ y $C(x_2,y_2)$ . La línea que pasa por $B$ y $C$ tiene la ecuación $$ (y_1-y_2)(x-x_2)-(x_1-x_2)(y-y_2)=0 $$ o, de forma simplificada, $$ (y_1-y_2)x-(x_1-x_2)y+x_1y_2-x_2y_1=0 $$ Según la fórmula anterior, la distancia de $O$ a la línea se obtiene utilizando $x_0=0$ y $y_0=0$ Así que es $$ \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{(y_1-y_2)^2+(x_1-x_2)^2}} $$ y en el denominador se reconoce la longitud de $BC$ , por lo que el área es $$ \frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|= \frac{1}{2} \left| \det\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} \right| $$ Pues bien, su triángulo puede considerarse que tiene el origen como uno de sus vértices, por la cartografía de traslación $A$ ¡al origen! Las nuevas coordenadas de $B$ y $C$ en el marco de referencia trasladado son $$ (-4-7,1-3)=(-11,-2) \qquad\text{and}\qquad (-3-7,-2-3)=(-10,-5) $$ por lo que el área es $$ \frac{1}{2} \left| \det\begin{bmatrix} -11 & -10 \\ -2 & -5 \end{bmatrix} \right|=\frac{1}{2}\lvert-55+20\rvert=\frac{35}{2} $$
En general, al hacer implícitamente la traslación, el área del triángulo con vértices en $(x_0,y_0)$ , $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ puede calcularse como $$ \frac{1}{2} \left| \det\begin{bmatrix} x_1-x_0 & x_2-x_0 \\ y_1-y_0 & y_2-y_0 \end{bmatrix} \right| $$
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Todo el mundo ha oído hablar de la Fórmula de los cordones ?
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Otra forma sería también dibujar un rectángulo alrededor del triángulo y restar cada sección no incluida en el triángulo, pero necesitarías la gráfica para ello.
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Buenos comentarios arriba. Otra forma es explotar es.wikipedia.org/wiki/Teorema de Pick%27s
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OP; deja de cambiarlo, está bien.
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Para no malgastar tus esfuerzos, puedes simplemente aplicar la fórmula de Heron a las longitudes de los lados calculados, también.