La multiplicación por Uno

Question

A través de la escuela se nos enseña que cuando algo se multiplica por 1, es igual a sí mismo.

Pero como estoy aprendiendo sobre el nivel más alto de matemáticas, estoy entendiendo que no todo es como en blanco y negro como que (cómo lo infinito multiplicado por cero no es tan sencillo como parece).

Hay algo en un nivel superior, más avanzada, las matemáticas que cuando se multiplica por uno no es igual a sí mismo?

Answer 1

Normalmente, si hay una operación que se llama multiplicación, que se define como un elemento de identidad. Llamamos a que el elemento $1$. Cuando hacemos eso, definimos $1\times x = x \times 1 = x$. A veces sólo nos definen una de las igualdades porque tenemos el poder para derivar el otro. Si no tenemos un $1$, no tenemos una identidad multiplicativa.

Answer 2

Como Ross Millikan ha señalado, matemáticos como para llamar multiplicativo identidades $1$ porque nos gusta que las cosas se comportan familiarmente.

Hay excepciones a esto, sin embargo, especialmente cuando se trabaja con conjuntos de números que están dotados de estructuras distintas de las que normalmente utilizamos. La forma más fácil de ejemplo que viene a la mente es el conjunto $S=\{0,2,4,6,8\}$ con la suma y la multiplicación se define el modulo $10$ (en otras palabras, si se multiplican o agregar números y exceden $10$, entonces me tome el resto de dividir por $10$. Por lo $6+8\equiv 4$ modulo $10$ desde $14=10+4$, mientras que $4\cdot 8\equiv 2$ modulo $10$ desde $4\cdot 8=32=3\cdot 10+2.$) Si usted se sienta y multiplicar cada elemento de a$S$$6$, usted encontrará que $6$ es la identidad multiplicativa, no $1$ (que no es ni siquiera en el conjunto).

Esta es una especie de trampa, porque aunque en algún sentido $S$ con esta estructura es "el mismo" $\{0,1,2,3,4\}$ con la suma y la multiplicación se define el modulo $5$, y en este caso $1$ es es la identidad multiplicativa.

Answer 3

Creo que no hay realmente ningún contexto donde queremos relajar el axioma $1a = a$. Pero a veces, queremos relajar el axioma $0a=0$. He visto la terminología casi semiring utiliza para describir estructuras algebraicas donde la suma y la multiplicación se comporta como se espera, salvo que $0a = 0$ podría no ser cierto. Casi semirings surgir de forma natural: por ejemplo, supongamos $X$ es un conjunto, $S$ es un semiring, y considerar la colección de todas las funciones parciales $X \rightarrow S$. Este es un casi-semiring, pero si $X$ no está vacía, no va a satisfacer $0a=0$. Para ver esto, vamos a $a$ denotar cualquier incumplimiento total de la función $X \rightarrow S$. La gran diferencia entre el $1a=a$ $0a=0$ es que el $a$ ocurre exactamente una vez en cada lado de la $1a=a$ (es un "equilibrado" de la identidad), mientras que esto no es cierto de $0a=0$. Esto significa que la identidad de $1a=a$ puede ser expresado mediante operads, mientras que $0a=0$ no. El resultado final es que mientras la mayoría de las formas de las construcciones de edificios de preservar la identidad de $1a=a$, muchos no van a preservar $0a=0$. Para otro ejemplo similar, trate de hacer el álgebra en el powerset de un semiring. Usted se dará cuenta rápidamente de que $1A=A$ mantiene, pero que $0A=0$ no.

Answer 4

Un aspecto clave de esta pregunta es darse cuenta de que 1 no es nada más que un símbolo con una línea vertical. No tiene ningún significado intrínseco. Se matemáticos que elegir para darle un significado.

Como muchos han señalado, es muy común para asignar el elemento de identidad multiplicativa el símbolo 1. Este es el símbolo de la identidad multiplicativa en nuestro habitual de la aritmética, y resulta que esto es muy conveniente para que la gente recuerde. Sin embargo, es sólo un símbolo. Su identidad multiplicativa podría ser ☃ , si quería. Podría haber alguna queja acerca de su símbolo opciones, pero es legal.

Ahora 1 es también el símbolo de $Su(0)$, que es "el sucesor a 0". Este significado del símbolo 1 proviene de la adición, en lugar de la multiplicación. Resulta ser que, en condiciones normales de la aritmética, el número que viene después de 0 ($Su(0)$) y el multiplicativo de identidad son el mismo número. Si me pueden pedir el Resplandor de la excelente ejemplo de módulo 10 la suma y la multiplicación en el conjunto $\{0, 2, 4, 6, 8\}$, el sucesor de 0 es 2, pero la identidad multiplicativa en este anillo es de 6.

Una razón válida puede ver una falta de el símbolo l es debido a esta situación. Porque la gente a menudo se piensa en el número 0 y el inverso multiplicativo como la misma cosa, uno puede optar por no usar ese símbolo si podrían causar confusión. En el Resplandor del ejemplo, el sucesor de 0 y el inverso multiplicativo son diferentes. Tal vez este es un buen momento para no usar 1. (Lo que se dice, 1 como un inverso multiplicativo es muy común, así que aunque me diga que usted podría elegir no usar de esa manera... la gente va).

Ahora he utilizado los números en el ejemplo. Los he usado por dos razones. Una es porque eso es como el Resplandor presentó en su respuesta. El otro es debido a que usted y yo estamos muy a gusto con cómo los símbolos de operar. Yo podría haber tenido la adición y la multiplicación sobre la $\{☀,☁,☂,☃,☄\}$ y siempre que las siguientes definiciones para la adición y la multiplicación de los operadores:

add  ☀ ☁ ☂ ☃ ☄       mul  ☀ ☁ ☂ ☃ ☄     
  ☀  ☀ ☁ ☂ ☃ ☄         ☀  ☀ ☀ ☀ ☀ ☀
  ☁  ☁ ☂ ☃ ☄ ☀         ☁  ☀ ☂ ☄ ☃ ☃
  ☂  ☂ ☃ ☄ ☀ ☁         ☂  ☀ ☄ ☃ ☃ ☁
  ☃  ☃ ☄ ☀ ☁ ☂         ☃  ☀ ☃ ☃ ☃ ☃
  ☄  ☄ ☀ ☁ ☂ ☃         ☄  ☀ ☃ ☁ ☃ ☂

La resultante de matemáticas sería el mismo, pero su enojo en mí para el uso no estándar de símbolos que puede estar justificada. Mediante el uso de los símbolos comunes 0, 2, 4, 6y 8, en un entorno donde su comportamiento es muy similar a cómo se utilizan en la aritmética normal, todo el proceso va mucho más suave!

Answer 5

Fuera de los habituales números enteros / números racionales / números reales que podemos aprender en la escuela primaria, el símbolo "$1$" a menudo se utiliza como un marcador de posición para la multiplicación de la identidad en una determinada estructura algebraica, como un anillo o de campo.

Para construir una estructura de este tipo, empezamos con algunas conjunto, que vamos a llamar a $S$. A continuación, vamos a definir las "operaciones" de este conjunto, que son funciones que la entrada de cualquiera de los dos elementos de $S$ y de salida de un elemento único en la $S$. Normalmente, llamamos a estas operaciones de "adición" y "multiplicación" y utiliza el estándar del $\times$ $+$ símbolos (aunque estos pueden ser definidos de forma muy diferente grado de la escuela adición o multiplicación). Finalmente, el matemático se especifica una lista de axiomas que este conjunto y las operaciones deben satisfacer, tales como la asociatividad, conmutatividad, y así sucesivamente.

Entre estos axiomas a menudo será una declaración a lo largo de las líneas de "existe un elemento especial en $S$, lo que vamos a llamar a la identidad multiplicativa y se denota por el símbolo "$1$" que tiene la propiedad de que $y \times 1 = 1 \times y = y$ para cualquier elemento $y \in S$.