Asistí a una conferencia invitada (estoy en la escuela secundaria), presentado por el algebraicas topologist. Por supuesto, la charla no fue riguroso, y dio una breve introducción al tema. Me enteré de que el objetivo de la topología algebraica es clasificar las superficies de una manera que es fácil decir si o no a las superficies son homeomórficos el uno al otro. Me estaba preguntando ahora, ¿por qué homeomorphisms importante? ¿Por qué es tan importante para averiguar si dos superficies se homeomórficos el uno al otro o no?
Respuestas
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Homeomorphisms son importantes porque son instancias de una idea: la estructura de la preservación de la isomorphisms. Usted aprenderá a apreciar esta idea como estudiar más matemáticas avanzadas.
En muchos dominios de la investigación matemática, los objetos de estudio realizar importantes tipos de "estructura", y no nos importa distinguir dos objetos siempre que tengan la misma estructura. Podemos hacer la idea de que "la misma estructura" precisa diciendo dos objetos X e y tienen la misma estructura, precisamente cuando hay un bijection entre ellos que "conserva la estructura" (en el sentido de que también pueden ser hechos precisos).
Homeomorphisms son precisamente las funciones de topología. Sus primos grupo isomorphisms en teoría de grupos y anillos isomorphisms en el anillo de la teoría, bijective transformaciones lineales en un espacio vectorial teoría, etc.
Daniel Robert-Nicoud
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La noción de homeomorphism es de fundamental importancia en la topología, porque es la manera correcta de pensar de la igualdad de espacios topológicos. Es decir, si dos espacios son homeomórficos, entonces ellos son indistinguibles en el sentido de que tienen exactamente las mismas propiedades topológicas.
Theo
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Si son homeomórficos, tienen las mismas propiedades topológicas. Topológicamente, son los mismos, por lo tanto la broma que un topologist no puede distinguir los anillos de la taza de café. Son los mismos. Intuitivamente, se puede transformar de una superficie a otra sin necesidad de hacer ningún derrumbamientos en la superficie. Si tu dona es un muffin, sin un agujero, se puede transformar en la taza de café (o de la dona) sin hacer un agujero, rompiendo así la estructura. El muffin no es homeomórficos a la taza de café, es por eso que usted debe nunca tener muffins con su café.
John Eikenberry
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Sólo para añadir a la ya-buenas respuestas hasta el momento: los seres Humanos en general, y los científicos en particular, son los clasificadores. Tenemos grupo "como cosas" en baldes y tratar de hacer declaraciones que debe ser verdadera para todo en la cubeta (por ejemplo, cómo los biólogos clasifican a los reinos, los filos, especies, etc.) En el caso de la topología, se puede colocar espacios en los cubos de acuerdo a sus homeomorphism tipo. Podríamos, en cambio, el uso de otros sistemas de clasificación (por ejemplo, homotopy tipo, que es un perdedor de la forma de equivalencia.)
Categoría de la teoría proporciona un entorno agradable para dar sentido a esta general, el proceso científico: Cuando el estudio de una determinada clase de objetos, la fundamental (por ejemplo, "importante"o"muy interesante"/primaria) objetivo es clasificar los objetos hasta categórica isomorfismo. Y para la categoría de espacios topológicos y continua de los mapas, isomorphisms son homeomorphisms.
zyx
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La forma específica de la 20th century definición de homeomorphism, con inversa pares de funciones continuas, no es necesariamente importante. No fue originalmente usado para la clasificación de las formas de 2 dimensiones de las superficies, un problema resuelto en el medio del siglo 19, sin una definición precisa de "superficie" o (topológico) "forma". Alguna otra forma de clasificación de los problemas, tales como la determinación de que los nudos pueden ser desatado, no han utilizado nunca homeomorphism como la definición de la equivalencia.
Lo que es más importante que el particular definiciones, es comprender, clasificar e inter-relacionan las formas de los objetos geométricos, y para tener una teoría de la que puede dar claras formulaciones de todos esos problemas y proporcionar herramientas para la solución de ellos.
Si la "forma" en que se formaliza en términos de los datos formales utilizados en la topología (abierto conjuntos, continua mapas, de convergencia, ...), a continuación, homeomorphism es, por definición, la noción de equivalencia asociada a eso; un uno-a-uno la correspondencia que coincide con los datos. Cuando el profesor equipara el objetivo del estudio de las formas con el objetivo de estudiar los espacios de hasta homeomorphism, que era la misma diciendo que las personas que se han asentado en la teoría de espacios topológicos como una adecuada formalización de la "forma".
