El momento es la cantidad que se conserva como resultado de la simetría con respecto a las traslaciones. Es el llamado teorema de Emmy Noether.
La única razón por la que teníamos $p=mv$ en mecánica clásica era que el Lagrangiano sólo dependía de $\dot q$ por la energía cinética $m\dot q^2/2$ plazo. Por la diferenciación, se puede ver que $p=m\dot q$ . Sin embargo, cuando el Lagrangiano es diferente, la relación entre momento y velocidad se modifica.
Ha citado un ejemplo. Otro ejemplo es cualquier teoría de la relatividad donde $$ p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ que también puede deducirse del Lagrangiano. Nótese que en el caso relativista, el Lagrangiano es (menos) el tiempo propio de la línea del mundo.
En algunos casos, el impulso se modifica, pero la gente no está de acuerdo en cuál es. Un ejemplo recientemente debatido aquí fue la controversia Abraham-Minkowski sobre el momento de un fotón en un material dieléctrico:
¿Se ha resuelto la controversia Abraham-Minkowski?
Para los fotones, el momento es $p=E/c$ en el vacío - esto en sí es diferente de las partículas masivas lentas - pero esta relación puede multiplicarse o dividirse por el índice de refracción $n$ y los argumentos surgieron a partir de este punto.
En la teoría de campos, se tienen fórmulas totalmente diferentes para el momento. No hay partículas, es decir, no hay velocidades de unos pocos objetos. En su lugar, el momento se distribuye en el campo -por ejemplo, el campo electromagnético- y cada región del espacio tiene una densidad de momento. Por ejemplo, la densidad de momento del campo electromagnético es $\vec E\times \vec H$ o $\vec D\times \vec B$ - cuál de ellos es "verdadero" fue una famosa controversia, equivalente a la controversia sobre el momento de un solo fotón.
Otros campos tienen obviamente otras fórmulas para la densidad de momento.
