Métricas de Riemann y el aspecto de espacios

Question

Yo pensaba que tenía una buena comprensión de métricas de Riemann hasta que me encontré con este ejercicio de Petersen del libro.

Construcción de modelos de papel de la de Riemann colectores ($\mathbb{R}^2, dt^2 + a^2t^2d \theta ^2$). Si $\alpha = 1$, esto es, por supuesto, el plano Euclidiano, y al $\alpha < 1$, parecen conos. ¿Qué aspecto tienen al $\alpha >1$?

No entiendo por qué el cambio de los números que se asigna a un par de vectores en un espacio de la tangente (cambiar la métrica de Riemann) haría una figura diferente. Si me dan a $\mathbb{R}^2$ coordenadas Cartesianas ¿por qué habría de cambiar el producto interior causa de ninguna diferencia en la forma en que se ve? Hay algunos intuición detrás de métricas de Riemann que me estoy perdiendo? Gracias.

Answer 1

El factor de $a$ hace que la longitud de cada círculo centrado en el origen igual a $2\pi a r$ donde $r$ es el radio.

Caso $a<1$: no es suficiente la circunferencia de la

Para darse cuenta de este caso, en la práctica, cortar una parte del círculo, específicamente $(1-a)$ parte de ella (en ángulo de términos, $2\pi (1-a)$). Esto está bien explicado en wikiHow:

Tenga en cuenta que esta superficie está inclinada para cerrar en sí misma; esta es una manifestación de la curvatura positiva (concentrada en el vértice aquí).

Caso $a>1$: demasiado circunferencia.

En lugar de eliminar una parte de un círculo, tenemos que añadir más de lo mismo. Una manera de lograr esto es con $2$, $3$, o más sectores de la clase que se muestra arriba, y el pegamento de sus bordes, de modo que una sola superficie se obtiene. Con $n$ sectores de tamaño angular $\theta<2\pi$, consigue $n\theta$ total de ángulo, que puede ser cualquier número positivo que usted desea.

Los sectores (con la etiqueta $1,2,\dots,n$ y poner en una pila) debe ser pegado por lo que, digamos, la parte inferior de la 1ª está pegado a la parte superior de la 2, el final de la 2ª a la 3ª... y el extremo inferior de $n$ para el extremo superior de $1$pt. Este último encolado paso en realidad no puede ser hecha en un espacio tridimensional sin la creación de auto-intersección. Solo tienes que imaginar que la auto-intersección no está allí: la superficie se pone alrededor de la otra parte de sí mismo a través de un desvío en la 4ª dimensión. Aquí es una ilustración de Wikipedia.

A diferencia del primer ejemplo, la superficie se quiere difundir a su alrededor (tanto que no hay suficiente espacio en el espacio 3D); esta es una manifestación de la curvatura negativa.