Sobre la importancia de las transformaciones naturales

Question

En p. 18 de Categorías para el trabajo matemático (2d ed.), Mac Lane observaciones que

..."categoría" se ha definido con el fin de definir "functor" y "functor" ha sido definido con el fin de definir la "transformación natural".

Para un concepto para justificar tanta preliminar de la maquinaria se debe reportar grandes beneficios, pero de alguna manera, en el caso de las naturales transformaciones todavía no veo.

Por ejemplo, uno de los pocos ejemplos de transformaciones naturales que estoy totalmente de puede seguir entre aquellos que Mac Lane ofrece es el determinante de la transformación natural, $\det$ (p.16). Su descripción es algo como esto.

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Deje $\mathbf{CRng}$$\mathbf{Grp}$, respectivamente, a las categorías de anillos conmutativos y de los grupos; fix $n$ a ser un número natural arbitrario; para cualquier anillo conmutativo $K$, vamos a $\mathrm{GL}_nK$ ser el grupo de todos los no-singular $n \times n$ matrices con entradas en $K$, y deje $K\text{*}$ el grupo de invertible elementos (aka unidades) de $K$. A continuación, $\mathrm{GL}_n$ $\text{*}$ son functors $\mathbf{CRng}\to\mathbf{Grp}$, y, por otra parte, el siguiente diagrama conmuta:

$$ \requieren{AMScd} \begin{CD} \mathrm{GL}_nK @>\det_K>> K\text{*}\\ @V\mathrm{GL}_nfVV @VVf\text{*}V\\ \mathrm{GL}_nK^\prime @>\det_{K^\prime}>> K^\prime\text{*} \end{CD} $$

IOW, $\det$ es una transformación natural $\mathrm{GL}_n \dot{\to} \text{*}$.

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Es un muy bonito, ejemplo muy claro, pero después de seguir todas las definiciones y en la persecución de todas las flechas, me queda preguntarme "para qué"?

Más específicamente, antes de trabajar en el diagrama, sabía bien toda la información expresada por sus flechas, y composiciones de los mismos. Incluso la conmutatividad entre "tomar el determinante" y "la aplicación de la $f$" no es difícil de ver. Así, al menos en este caso, el concepto de transformación natural no parece estar contribuyendo mucho a lo que yo ya sabía, y es por lo tanto difícil para mí para justificar todos los equipos necesarios para definir.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

La connaturalidad plazas de una transformación natural son: $$\require{AMScd} \begin{CD} FA @>{\eta_A}>> GA\\ @V{Ff}VV @VV{Gf}V\\ FB @>>{\eta_B}> GB \end{CD}$$ donde le pedimos a la plaza para conmutar para cualquier elección de $f\in \mathsf{Hom}(A,B)$.

Para mí, el significado de esta definición es un tanto filosófica (y hasta ahora me ha dado buena intuición para connaturalidad):

Por el Yoneda lema, $A\cong B\iff H_A\cong H_B$ donde $H_A=\mathsf{Hom}(-,A)$. Esto significa que los objetos están determinados por las flechas en ellos. Pidiendo la connaturalidad plazas para conmutar para cada apropiados $f$ es básicamente diciendo:"esta plaza desplazamientos independientemente de lo $\mathsf{Hom}(A,B)$ parece", que por Yoneda es lo mismo que decir "esta plaza desplazamientos independientemente de las propiedades de $A,B$".

Por lo tanto, decir que algunos de flecha $\eta _A$ es natural en $A$ es decir que el objeto específico de la $A$ no juega ningún papel en la definición, por lo tanto puede ser extendida a una construcción a nivel mundial entre los functors.

La más elegante de ejemplo que se me ocurre de donde connaturalidad realmente simplifica una prueba de ello es el homotopy la invariancia de homología singular. En esta instancia, connaturalidad, literalmente, le permite resolver un problema global (para todos los espacios topológicos) mediante la resolución es sólo para muy simple espacios (el estándar simplices). Este mismo principio es el corazón de la acíclicos modelos teorema, que en sí mismo puede ser utilizado para probar muchos otros maravillosos teoremas.

Answer 2

Decir que tiene una matriz real y considerar sus valores propios. Los reales no es suficiente para su propósito, así que usted también considerar los valores propios complejos. Estos son los valores propios de la matriz compleja de parking. ¿Por qué? Porque es natural en cuanto a $\det$ $\mathbb{R}[t] \hookrightarrow \mathbb{C}[t]$. Naturalidad es utilizado todo el tiempo, a partir de la primera jornada de aprendizaje de las matemáticas superiores. (Por supuesto, nadie le dice.)

Answer 3

Primero de todo, no creo que las categorías y functors cuentan como "mucho preliminar de la maquinaria", son sólo dos (el más básico) definiciones de una teoría matemática. Así transformación natural son aún muy elemental noción, y ejemplos sencillos de ellos tienden a ser un poco obtuso. Que $\det : \mathrm{GL}_n → (-)^*$ es natural, significa que es una buena manera de transformar un grupo lineal general en un grupo de unidades. Esa es una idea simple, y, por supuesto, usted ya lo sabía, así que ahí no debe ser nada llamativo pasando. Comparar, si usted va a demostrar que el cuadrado es una función real continua.

La importancia no está en capacidad de dar un formal etiqueta a las cosas que ya intuitivamente sabía que son "las transformaciones de las construcciones" (aunque sin duda es una buena cosa!), es que ahora se le da dos functorial construcciones, usted sabe lo que cada transformación que se debe satisfacer, y que los naturales de las transformaciones entre ellos son exactamente lo que usted desea enfocar. Teniendo en cuenta la ubicuidad de functorial construcciones, este es un hallazgo importante.

De hecho, muchos de los objetos matemáticos que pueden ser descritos como functors. Las representaciones de un grupo de $G$ son functors a partir de la única categoría de objeto $G$: $\mathrm{Set}$ para el grupo acciones, y a $\mathrm{Vect}$ (lineal) representaciones y transformaciones naturales entre estos functors son exactamente los morfismos de $G$-conjuntos y entrelazamientos, respectivamente. Del mismo modo $R$-módulos corresponden a la aditivo functors en el único objeto de aditivos categoría $R$$\mathrm{Ab}$, y el módulo de morfismos son, de nuevo, natural de transformaciones. En otra dirección, presheaves en un espacio topológico $(X, \mathcal T)$ son functors $(\mathcal T, ⊇) → \mathrm{Set}$.

De nuevo, cada una de estas afirmaciones es evidente, y cada matemático iba a saber lo que es una de morfismos de los módulos debe ser, con o sin la categoría de teoría. El paradigma unificador sin embargo, podría ser útil si intenta generalizar o el estudio de una nueva clase de objetos que son sólo functors en el disfraz.

Por último, desde categorías, functors naturales y las transformaciones son (entre) la mayoría de las definiciones básicas de la categoría de la teoría, casi todo lo demás usos (resumen) natural de transformaciones, ya sea de forma implícita o explícita, por lo que son una parte integral de la razón por la totalidad de la categoría de la teoría es importante (no es que esto no es algo que a menudo se considera dudoso demasiado).