$p = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1 + \cdots}}}$; $\sum_{k=2}^{\infty}{\dfrac{\lfloor p^k \rceil}{2^k}} = ? $

Question

Que $p = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1 + \cdots}}}$
La suma $$\sum_{k=2}^{\infty}{\dfrac{\lfloor p^k \rceil}{2^k}}$ $
Puede ser expresado como $\frac{a}{b}$. Donde $\lfloor \cdot \rceil$ denota la función de número entero más cercana. Encontrar $a+b$.

Mi trabajo
$p^2 = 1+p \implies p = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi$
Y también $\phi^n = \dfrac{L_n + F_n\sqrt{5}}{2}$. Donde $L_n$ es la $n-th$número de Lucas.
¿Qué hacer con la siguiente parte?

Nota: problema de recogida de Brilliant.org

Answer 1

Usted está en lo correcto que $$p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Esta es la proporción áurea, ususally etiquetados $\phi$. Hay una conocida relación entre el$\phi$, y el de Lucas números de $L_k$: para todos los números naturales $k$,

$$L_k = \phi^k + \left(\frac{-1}{\phi}\right)^k$$

El segundo término anterior será de menos de $1/2$$k >1$, por lo que el redondeo $\phi^k$ al entero más cercano debe dar $L_k$.

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Esto significa que su suma puede ser escrito en términos de números de Lucas. Deje que su suma sea $S$. Entonces

$$S = \displaystyle\sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{L_k}{2^k}$$

Ahora podemos escribir un par de términos de $S$, $2S$, y $4S$:

\begin{align} S = \frac{L_2}{4}&+\frac{L_3}{8}+\frac{L_4}{16}+\frac{L_5}{32}+\cdots \\\\ 2S = \frac{L_2}{2}+\frac{L_3}{4}&+\frac{L_4}{8}+\frac{L_5}{16}+\cdots \\\\ 4S = L_2+\frac{L_3}{2}+\frac{L_4}{4}&+\frac{L_5}{8}+\frac{L_6}{16}\cdots \\ \end{align}

He intencionalmente se alinearon las cantidades arriba mencionadas así, porque si sumamos las dos primeras ecuaciones, término por término, obtenemos

$$ 3S = \frac{L_2}{2} + \frac{L_2+L_3}{4} + \frac{L_3+L_4}{8}+\frac{L_4 + L_5}{16}+\cdots $$

Pero los números de Lucas, como los números de Fibonacci, satisfacer la recursividad $L_k + L_{k+1} = L_{k+2}$. Por lo tanto

$$3S = \frac{L_2}{2} + \left(\frac{L_4}{4} + \frac{L_5}{8} + \frac{L_6}{16}+\cdots\right)$$

Pero todo después de que el primer término se parece mucho a lo que había escrito para $4S$ arriba! De hecho, podemos escribir

$$3S = \frac{L_2}{2} + \left(4S - L_2 - \frac{L_3}{2}\right)$$

$$S = \frac{L_2}{2} + \frac{L_3}{2}$$

$$S = \frac{L_4}{2}$$

Finalmente, podemos resolver para que su suma:

$$S = \frac{7}{2}$$

Answer 2

$n \ge 2$, Los números $\lfloor \phi^k \rceil$ son igualan a los números de Lucas, que satisfacen la repetición de Fibonacci pero en que $L_1=1$ y $L_2=3$. Los números de Lucas satisfacer

$$L_k = \phi^k + (-1)^k \phi^{-k}$$

y por lo tanto tienen la función de generar

$$L(x) = \frac{2-x}{1-x-x^2} $$

por lo que es la suma que

$$L \left (\frac12 \right ) - L_0 - \frac12 L_1 = \frac72$$

Tenga en cuenta que $\phi^{-1}= \phi-1 = 0.618\ldots$ y exponenciación a la potencia de $k$ no afecta a un redondeo de $k \ge 2$.