Si $u\in L^1(0,1)$ es no negativo y prueba de $E_n = \int_0^1 x^n u(x) \, dx$, $E_{n-k} E_k \leq E_0 E_n$.

Question

$\textbf{Question:}$ % Que $ u \in L^1(0,1)$ser una función negativa. Definir $$E_n := \int_0^1 x^n u(x) dx$$ Prove the following inequality, $\forall \ge 0$, and $\forall n k \in [0, n] $, we have $% $ $ E_{n-k} E_k \le E_0 E_n$

$\textbf{My Attempt:}$ Tenemos, $$ E_0: = \int_0^1 u(x) dx$ $

$$E_1= \int_0^1 x u(x) dx$$

$$E_2 = \int_0^1 x^2 u(x) dx$$

Desde $x \in (0,1)$, tenemos %#% $ #%

Así $$E_0 \ge E_1 \ge E_2 \dots$ $

Para mostrar que $$ E_n E_0 \ge E_n E_1 \ge E_n E_2 \ge \dots $, debemos mostrar que %#% $ #%

Esto es equivalente a demostrar que $E_0 E_n \ge E_k E_{n-k}$ que es cierto como lons $$\frac{E_0}{E_k} \ge \frac{E_{n-k}}{E_n}$, que es cuando $x^{-k} \ge x^{n-2k}$.

¿Es correcta la prueba anterior?

Answer 1

Desigualdad del titular: Asumir, wlog, que $k\geqslant n-k$. $$\begin{align} \Big(\int_0^1 x^{n-k}u~\text dx\Big)\Big(\int_0^1x^k u~\text dx\Big) &= \Big(\int_0^1 (x^k)^{\frac{n-k}{k}}u~\text dx\Big)\Big(\int_0^1x^k u~\text dx\Big)\\ &\leqslant \Big(\int_0^1 u~\text dx\Big)^{2-\frac{n}{k}}\Big(\int_0^1 x^ku~\text dx\Big)^{\frac{n-k}{k}}\Big(\int_0^1x^k u~\text dx\Big) \\ & = \Big(\int_0^1 u~\text dx\Big)^{2-\frac{n}{k}}\Big(\int_0^1 (x^n)^{\frac{k}{n}}u~\text dx\Big)^{\frac{n}{k}} \\ & \leqslant \Big(\int_0^1 u~\text dx\Big)^{2-\frac{n}{k}}\Big(\int_0^1 x^nu~\text dx\Big)\Big(\int_0^1 u~\text dx\Big)^{(1-\frac{k}{n})\frac{n}{k}} \\ & = \Big(\int_0^1 u~\text dx\Big)\Big(\int_0^1 x^nu~\text dx\Big)\,. \end {Alinee el} $$

Por lo tanto,

$$\Big(\int_0^1 x^{n-k}u~\text dx\Big)\Big(\int_0^1x^k u~\text dx\Big)\leqslant \Big(\int_0^1 u~\text dx\Big)\Big(\int_0^1 x^nu~\text dx\Big)$$