Si es isomorfo a $X^*$ $Y^*$, ¿qué sabemos acerca de $X$ y $Y$?

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son espacios de Banach con duales $X^*$ y $Y^*$. ¿Si sabemos $X^*$ y $Y^*$ son isomorfos, lo que podemos decir de $X$ y $Y$?

Algo trivial es que puede ser embebidos isométrica en el mismo % de espacio de Banach $X^{**}$. Otra es que puede ser embebidos isométrica en la $C(S)$, donde $S$ es un espacio de Hausdorff compacto.

¿Pero supongo que mucho más pueden ser implícita acerca de $X$ y $Y$? ¿Estoy correcto?

¡Gracias!

Answer 1

Algunas cosas se pueden decir más allá de los que mencionas, pero probablemente no mucho. Como ejemplo, mira esta respuesta, donde se proporciona un ejemplo de separable $X$, inseparable $Y$, $X^*=Y^*$.