¿\begin{equation} \sum_{k\geq 0}\frac{\left( -1\right) ^{k}\left( 2k+1\right) }{\left( 2k+1\right) ^{2}+a^{2}}, \end{Ecuación} se resumen explícitamente, donde $a$ es un número real constante? Si $a=0,$ esta suma se convierte en\begin{equation} \sum_{k\geq 0}\frac{\left( -1\right) ^{k}}{2k+1}=\frac{\pi }{4}. \end{equation} lo que sobre para $a\neq 0$. He intentado este método\begin{eqnarray*} \sum_{k\geq 0}\frac{\left( -1\right) ^{k}\left( 2k+1\right) }{\left( 2k+1\right) ^{2}+a^{2}} &=&\frac{1}{2}\sum_{k\geq 0}\left( -1\right) ^{k}% \left[ \frac{1}{2k+1+ja}+\frac{1}{2k+1-ja}\right] \\ &=&\frac{1}{2}\sum_{k\geq 0}\frac{\left( -1\right) ^{k}}{2k+1+ja}+\frac{1}{2}% \sum_{k\geq 0}\frac{\left( -1\right) ^{k}}{2k+1-ja} \\ &=&\frac{1}{2}\sum_{k\geq 0}\left( -1\right) ^{k}\int_{0}^{1}x^{2k+ja}dx+% \frac{1}{2}\sum_{k\geq 0}\left( -1\right) ^{k}\int_{0}^{1}x^{2k-ja}dx \\ &=&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[ \sum_{k\geq 0}\left( -1\right) ^{k}x^{2k+ja}% \right] dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[ \sum_{k\geq 0}\left( -1\right) ^{k}x^{2k-ja}\right] dx \\ &=&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{ja}}{1+x^{2}}dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}% \frac{x^{-ja}}{1+x^{2}}dx \\ &=&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{ja}+x^{-ja}}{1+x^{2}}dx \end{eqnarray *} pero estaba pegado en las ecuaciones del pasado. Puede alguno darme algún consejo o me dice que no existe la expresión analítica. ¡Gracias mucho!
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Esta suma puede ser evaluado por el mismo truco que aquí se presenta: math.stackexchange.com.
Con el fin de capturar la convergencia en el comportamiento de la serie de grupo de términos consecutivos para obtener convergencia absoluta, la escritura $$ S(a) = \sum_{m\ge 0} \frac{4m+1}{(4m+1)^2+a^2} - \sum_{m\ge 0} \frac{4m+3}{(4m+3)^2+a^2} = \sum_{m\ge 0} \frac{(4m+1)((4m+3)^2+a^2)-(4m+3)((4m+1)^2+a^2)} {((4m+3)^2+a^2)((4m+1)^2+a^2)} = \sum_{m\ge 0} \frac{2(4m+1)(4m+3)-2a^2}{((4m+3)^2+a^2)((4m+1)^2+a^2)} $$
En lugar de utilizar $f_1(z)$ $f_2(z)$ desde el otro post de uso $$f(z) = \frac{2(4z+1)(4z+3)-2a^2}{((4z+3)^2+a^2)((4z+1)^2+a^2)} \pi \cuna(\pi z).$$
La operación clave de esta técnica es calcular la integral de $f(z)$ a lo largo de un círculo de radio $R$ en el plano complejo, donde $R$ va al infinito. Ciertamente tenemos $|\pi\cot(\pi z)|<2\pi$ $R$ lo suficientemente grande. El núcleo término de la suma es$\theta(R^2/R^4)$$\theta(1/R^2)$, de modo que las integrales se $\theta(1/R)$ y se desvanecen en el límite. Esto significa que la suma de los residuos en los polos de $f(z)$ suman cero.
Se puede comprobar con facilidad que los polos en los enteros producir los términos de la suma dos veces más. De ello se sigue que $$ 2 S(a) + \text{Res}_{z=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}ia} f(z) + \text{Res}_{z=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}ia} f(z) + \text{Res}_{z=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}ia} f(z) + \text{Res}_{z=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}ia} f(z) = 0$$
Los residuos son fácilmente calculada como los polos son todas simples. Esto finalmente se rinde $$ S(a) = \frac{1}{4} \frac{\pi}{\cosh \left(\frac{\pi a}{2}\right)}.$$
La respuesta es : $$S(a)=\sum_{k\geq 0}\frac{\left( -1\right) ^{k}\left( 2k+1\right) }{\left( 2k+1\right) ^{2}+a^{2}}=\frac {\pi}{4\,\cosh(\pi/2)}$$
Vamos a empezar casi como lo hizo : \begin{eqnarray*} S(a)=\sum_{k\geq 0}\frac{\left( -1\right) ^{k}\left( 2k+1\right) }{\left( 2k+1\right) ^{2}+a^{2}} &=&\frac 12\sum_{k\geq 0}\left( -1\right) ^{k}% \left[ \frac 1{2k+1+ia}-\frac 1{-2k-1+ia}\right] \\ &=&\frac 12% \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{\left( -1\right) ^{k}}{2k+1+ia} \\ &=&\frac 14% \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{\left( -1\right) ^{k}}{k+(1+ia)/2} \\ \end{eqnarray*}
Pero la última serie fue evaluada anteriores aquí el uso de diferentes métodos con el resultado (en nuestro caso) : $$S(a)=\frac {\pi}{4\sin\left(\pi (1+ia)/2\right)}=\frac {\pi}{4\cos\left(\pi a i/2\right)}=\frac {\pi}{4\cosh\left(\pi a/2\right)}$$
Ya que su método está bien vamos a intentar terminar su manera :
$$ \begin{align} S(a)&=\frac 12\int_{0}^{1}\frac{x^{ia}+x^{-ia}}{1+x^{2}}dx\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\cos(a\ln(x))}{1+x^{2}}dx\quad\text{using the hint in the comment}\\ &=\int_{-\infty}^0\frac{\cos(a\,t)\,e^t}{1+e^{2t}}dt\quad\text{if}\ \ x:=e^t\\ &=\frac 12\int_{-\infty}^0\frac{\cos(a\,t)}{\cosh(t)}dt\\ &=\frac 12\int_0^\infty \frac{\cos(a\,t)}{\cosh(t)}dt\\ \end{align} $$ Vamos a evaluar los $\displaystyle I(a)=\int_{-R}^R \frac{e^{i a\,z}}{\cosh(z)}dz\ $ utilizando un contorno rectangular $[-R,+R]\times [0,\pi i]\ $ (tendremos $R\to\infty$ y supongamos $|a|<1$)
$$ I(a)=\int_{-R}^R \frac{e^{i\,z}}{\cosh(z)}dz+\int_R^{R+\pi i} \frac{e^{i\,z}}{\cosh(z)}dz+\int_{R+\pi i}^{-R+\pi i}\frac{e^{i\,z}}{\cosh(z)}dz+\int_{-R+\pi i}^{R} \frac{e^{i\,z}}{\cosh(z)}dz $$ poner la tercera parte integral en la segunda posición : $$ I(a)=\int_{-R}^R \frac{e^{i\,t}}{\cosh(t)}dt+\int_{R}^{R}\frac{e^{i(t+\pi i)}}{\cosh(t+\pi i)}dt+\int_R^{R+\pi i} \frac{e^{i\,z}}{\cosh(z)}dz+\int_{-R+\pi i}^{R} \frac{e^{i\,z}}{\cosh(z)}dz $$ Voy a dejar de mostrar que las dos integrales de la derecha desaparecer como $R\to\infty$ ( $|a|<1$ ) y el uso de $\cosh(t+\pi i)=-\cosh(t)$ para obtener : $$I(a)=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i a\,t}}{\cosh(t)}dt+\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{i a(t+\pi i)}}{\cosh(t)}dt=\left(1+e^{-a\pi}\right)\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i a\,t}}{\cosh(t)}dt$$
Desde allí es sólo uno de los polos en $\ t=\frac {\pi}2 i\ $ podemos usar el residu allí para obtener : $$\frac{2\pi i\, e^{i a\,\pi i/2}/i}{\left(1+e^{-\pi a}\right)}=\frac{2\pi\, e^{-\pi a/2}}{\left(1+e^{-\pi a}\right)}=\frac{\pi}{\cosh(\pi a/2)}=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i a\,t}}{\cosh(t)}dt$$ y a la conclusión de que, de hecho :
$$\frac 12\int_0^\infty \frac{\cos(a\,t)}{\cosh(t)}dt=\frac{\pi}{4\cosh(\pi a/2)}$$
Tal vez no sea tan sencillo como esperaba...
