Estoy estudiando la física cuántica y tengo una pregunta: ¿Cuál es la explicación física para tener menos energía que los fotones con la misma longitud de onda de electrones?
Energía de un fotón: $E = h c/\lambda$.
Energía de un electrón: $E = h^2/(2m\lambda^2)$
Para el fotón tenemos $$E_\gamma = \frac{hc}{\lambda}$$ y para el electrón $$E_e = \frac{h^2}{2m\lambda^2} =\frac{hc}{\lambda} \frac{h}{2mc\lambda} = E_\gamma \frac{h}{2mc\lambda}. $$ Se puede comprobar que el factor de proporcionalidad es adimensional. Así que lo que están pidiendo es por eso que esta cantidad es menor que la unidad. Pero recordemos que $$\frac{h}{\lambda} =p$$ donde $p$ es el impulso. Lo que estamos viendo es realmente (la mitad) la relación de $$\frac{pc}{mc^2} = \frac{mvc}{mc^2}$$ donde supuse que $v \ll c$, es decir, que tiene un no-relativista del electrón. A continuación, obtenemos el resultado que usted indicó en su pregunta. En la otra mano, si no hacemos esta aproximación tenemos la relación de $$\frac{pc}{mc^2} =\frac{mv\gamma c}{mc^2} = \frac{v\gamma}{c}$$ que es ilimitado al $v \to c$.
También se podría argumentar a partir de Einstein $$E^2 = m^2 + p^2$$ (en las unidades en donde $c = 1$). Para $m = 0$ naturalmente $E = p$. Si usted hace una expansión de Taylor de $E$ $m\neq 0$, $$E = m + \frac{p^2}{2m} + \ldots$$ usted ve que la energía cinética, en comparación con la energía de una masa de partículas tiene un factor de $p/m$ (como vimos anteriormente). La no-relativista régimen es precisamente cuando esta cantidad es pequeña, y si no lo es, tenemos que incluir términos proporcionales a $p^4/m^3$ y más, y otra vez en que la energía puede ser más grande de una enorme partícula de una masa de partículas con el mismo ímpetu. Así que la respuesta a su pregunta es: porque usted está considerando la no-relativista partículas.
La energía de la partícula es proporcional a la frecuencia de oscilación de su función de onda, $E=h\nu$. Un fotón siempre se mueve a la velocidad de la $c$, por lo que su longitud de onda está relacionada con la frecuencia de la forma habitual para una onda, $\lambda = c/\nu = hc/E$.
Una enorme partícula se mueve más lentamente que la de los fotones, por lo que su longitud de onda es más corta para la misma cantidad de energía. Ingenuamente, se puede adivinar que una partícula que se mueve a la velocidad de la $v$ $\lambda = hv/E$ como su longitud de onda. Esto no es correcto porque no tiene en cuenta la relatividad, pero puede dar una idea de por qué la longitud de onda es más corta que para una partícula con masa.
Para obtener la relación correcta, debemos considerar el relativista de la energía de la partícula. Según la relatividad especial, la energía es en realidad $E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$. Para una partícula en reposo, esta es la famosa $E=mc^2$. La energía cinética es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo (masa de energía).
Para un fotón, toda la energía es cinética, ya que no tiene masa. Para un no-relativista del electrón, con el ímpetu $p \ll mc$, podemos utilizar una expansión de Taylor para obtener una expresión aproximada para la energía cinética.
\begin{align} KE &= \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2}-mc^2\\ &\approx mc^2\left(1+{1 \over 2}{p^2c^2 \over m^2c^4 }\right)-mc^2\\ &={p^2 \over 2m} \end{align}
La longitud de onda de DeBroglie está relacionada con el impulso por $\lambda =h/p$, y pluggin en obtenemos las fórmulas que le pidieron.
\begin{align} E_{\mathrm{photon}} &= {hc \over \lambda}\\ E_\mathrm{electron} &= {h^2 \over 2m\lambda^2} \end{align}
Un poco diferente punto de vista es el siguiente. En primer lugar, tenga en cuenta que las fórmulas dadas por el OP no excluye la posibilidad de que el electrón tiene la misma o más energía que un fotón de la misma longitud de onda. De hecho, para lo suficientemente pequeño $\lambda$ la no-relativista fórmula $E = h^2/(2m \lambda^2)$ predice que el electrón tiene mayor energía que el fotón. La "crítica" de la longitud de onda $\lambda_c$ donde el crossover que pasa es encontrado por igualando las dos expresiones, dando $$ \frac{hc}{\lambda_c} = \frac{h^2}{2m\lambda_c^2} \quad \Longrightarrow \quad \lambda_c \approx \frac{h}{mc},$$ ignorando el factor de 2. Pero esta cantidad tiene otro significado: es la longitud de onda de Compton. Esta es la longitud de onda en la que los electrones de la energía cinética es aproximadamente igual a su masa de reposo: $$ \frac{h^2}{2m\lambda_c^2} \approx m c^2. $$ Por encima de esta energía, la producción espontánea de pares electrón-positrón empieza a ser importante. Por lo tanto, la no-relativista concepto de "un solo electrón" pierde su significado una vez que la energía se vuelve comparable a la de un fotón de la misma longitud de onda.
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