¿Por qué sabemos que Gödel frases son verdaderas en el modelo estándar de la teoría de conjuntos, pero no sé si la hipótesis continua es?

Question

Por qué métodos podemos identificar enunciados que son verdaderos en el modelo estándar de la teoría de conjuntos, pero no en otros modelos? En particular, ¿cómo podemos probar que Gödel frases son verdaderas en el modelo estándar? Muchas respuestas en Matemáticas SE sugieren pensar en ellos como simplemente indecidible, pero me gustaría entender lo que los hace diferentes a los de la hipótesis continua en este sentido. Parece que el conjunto de axiomas de la teoría de bastante escape de nuestra intuición acerca de los conjuntos, sin embargo, hay verdades acerca de los conjuntos que no son demostrables a partir de ellos.

Una de las explicaciones que he leído es que la prueba de Gödel además asume la coherencia, que tenemos que creer, si creemos en el modelo estándar. Pero, ¿por qué la consistencia de la asunción solo el modelo estándar frente a cualquier otro? También, las sentencias de la teoría de conjuntos son sobre conjuntos, se puede expresar algo así como la coherencia sólo cuando reinterpretado el uso de algunos externo esquema de numeración para las fórmulas (la numeración de Gödel). Incluso si Gödel son las frases "intuitivamente" la verdadera virtud de dicha reinterpretación (porque "dicen" yo soy improbable, y lo son), ¿cómo podemos demostrar que ellos también son "internamente" en verdad, en su sentido original como las declaraciones acerca de los conjuntos?

Answer 1

El quid de la cuestión es que (la gente) tenemos evidencia de que la PA es consistente, pero no tenemos pruebas similares que CH es cierto. Tenga en cuenta que "la verdad en el modelo estándar de la teoría de conjuntos" es (básicamente) sinónimo de "verdad".

¿Por qué es esto? Bueno, vamos a comenzar con: ¿por qué creemos PA es consistente? Generalmente, en realidad, una afirmación más fuerte: la PA es cierto. El razonamiento detrás de cada afirmación es, a menudo, "Tenemos acceso intuitivo a los números naturales, y esto incluye el conocimiento de que se satisfacen PA." (Si esto suena circular a usted, no se preocupe, usted está en buena compañía.)

Ahora vamos a dejar de lado la cuestión de cómo convencer o no nuestra capacidad de visualizar los números naturales es como un argumento para la consistencia de PA, y mira CH. En primer lugar, tenga en cuenta que nosotros podría decirse que saber cómo convencer a nosotros mismos de que la PA es consistente: todo lo que se necesita es la capacidad de encontrar un único ordenado semiring en el que la PA es cierto, y lo que pasa en otros ordenó semirings no importa. Por el contrario, si tuviéramos un modelo de ZFC+CH, esto sólo sería evidencia de la consistencia, no la verdad, de CH; en orden para la existencia de un modelo de $M$ de ZFC+CH a contar como evidencia de la verdad de CH, necesitaríamos

• una razón para creer que $M$ es el modelo estándar de la teoría de conjuntos, o

• una razón para creer que $M$ es similar a la del modelo estándar de la teoría de conjuntos, al menos en lo que CH es la de que se trate.

Esta dificultad se ve agravada por forzar, que nos permite crear de forma explícita un modelo de ZFC+CAD a partir de un modelo en el cual CH falla, y viceversa, mientras que la preservación de muchas buenas propiedades (tales como fundamento). Esta (en mi mente) mata, por ejemplo, la esperanza de sostener que existe un único modelo de la teoría de conjuntos, que es de alguna manera al "alcance": modelos simples sencillo, obligando a las extensiones.

Así que ahora, en su primera frase:

Por qué métodos podemos identificar enunciados que son verdaderos en el modelo estándar de la teoría de conjuntos?

Este es un enfoque: identificar las propiedades matemáticas que, según algunos, la filosofía, el modelo estándar de la teoría de conjuntos deben tener; a continuación, muestran que estas propiedades matemáticas implica/refutar la declaración en cuestión.

Por ejemplo . . .

• Hay argumentos que el modelo estándar de la teoría de conjuntos satisface "V=L"; en la medida en que usted compra la filosofía detrás de estos argumentos, estos son también los argumentos para la CH de ser cierto. Sin embargo, tienden a ser impopular.

• Grandes cardenales están muy "in" en estos días (:P), pero no se conforma con CH (aunque sí implica, por ejemplo, proyectiva, la determinación, y así muchos teóricos creen que proyectiva determinación es "verdadera en el modelo estándar").

• Obligando a los axiomas - tales como el PFA - implica que $2^{\aleph_0}=\aleph_2$; en esos raros días en los que me creo en el universo estándar de la teoría de conjuntos, tiendo a creer en esta dirección, pero creo que podría ser más raro (más común es la creencia de que forzar a los axiomas mantenga en el interior de los modelos; esto es, básicamente, grandes cardenales de la ronda dos).

• Woodin ha examinado algún otro medio de solución de CH, pero sé menos en esta dirección; básicamente, uno de sus enfoques ("Ultimate L") es argumentar que, asumiendo grandes cardenales mantienen en el "real" universo $V$, hay un interior modelo $N$ que es "grande" (es decir, tiene el mismo tamaño de cardenales como $V$) y tiene muchos buenos canónica de características, incluyendo CH. Entonces, uno puede argumentar que el $V$ "" debe ser igual a su propio $N$.

Para obtener más y mejor información sobre estos y otros argumentos, ver http://mathoverflow.net/questions/23829/solutions-to-the-continuum-hypothesis.

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EDIT: Las conferencias, etc. en http://logic.harvard.edu/efi.php#multimedia podría ser de interés para usted; se discute la naturaleza de la matemática de la verdad, de la certeza de los enunciados matemáticos, y si CH tiene un valor de verdad.

Answer 2

Como Noé señala, en el contexto de $\sf PA$ tenemos un único "muy bonito" que es el modelo que tiene muy buen propiedades. $\Bbb N$, se puede mostrar que cualquier bien fundada modelo de $\sf PA$ es isomorfo a él, y sabemos que este modelo no existe, si suponemos una suficiente meta-teoría. Así, en el contexto de la aritmética, podemos decir que "el modelo" y confundir entre "verdadero" y "verdadero en el modelo estándar".

En el caso de la teoría de conjuntos, no hay tal cosa. Por varias razones:

1. Mientras que muchas personas dirían que $\sf ZFC$ es auto-evidente, algunas personas pueden no estar de acuerdo. Es mucho más difícil argumentar en contra de los números naturales, aunque.

2. Incluso si $\sf ZFC$ es en el hecho de auto-evidente, ¿qué tipo de singularidad que podemos esperar de un modelo canónico? En comparación a $\sf PA$, al pasar a un segundo orden de la teoría (es decir, tomando el segundo axioma de reemplazo en lugar de un esquema), se puede demostrar que el modelo es necesariamente $V_\kappa$ por un inaccesibles $\kappa$. Pero sin añadir más suposiciones acerca de qué tipo de grandes cardenales están en el universo, o lo que los grandes cardenales están en el modelo, no podemos garantizar la unicidad.

3. El término "modelo estándar" en la teoría de conjuntos, significa que el modelo, que es un par $(M,E)$ donde $E$ es una relación binaria sobre a $M$, es tal que $E=\in$. Por lo $M$ está de acuerdo con el fondo universo acerca de la membresía de la relación; y que el modelo es transitiva, es decir, si $x\in M$$y\in x$,$y\in M$.

4. El quid es que si hay un modelo estándar, entonces hay muchos de ellos. Forzando toma una contables transitiva modelo, y construye una diferente contables transitiva modelo.

   Y dependiendo de su meta-teoría, podría haber muchos muchos muchos diferentes contables transitiva modelos (por ejemplo, qué tipo de gran cardenal hipótesis son verdaderas). En particular, habrá transitiva de los modelos en los $\sf CH$ es verdad y otros donde no lo es.

Y ahora podemos dirigir nuestra atención a su pregunta sobre la Gödel frases. Esto es realmente una declaración acerca de los números naturales [el modelo]. Pero como la suerte lo tendría, si $M$ es un modelo transitivo, entonces está de acuerdo con el universo acerca de $\omega$, y acerca de su primer orden de teoría de la $\sf PA$.

En particular, se compromete con el universo acerca de si o no Gödel frases ares verdadero o falso. Y, en particular, cualquier modelo estándar está de acuerdo con cualquier otro modelo estándar, y con cualquier interior del modelo y con la totalidad del universo, acerca de este tipo de preguntas.

Y esto es lo que la hace tan diferente de $\sf CH$. Mientras que las declaraciones acerca de los conjuntos puede a veces ser cambiado por forzar, las declaraciones acerca de los números naturales son robustos. Se pueden cambiar mediante la consideración de otros modelos, pero no modelos estándar, no de los modelos son isomorfos o de lo contrario elementarily equivalente a los modelos estándar, o cualquier modelo que acaba de pasar a estar de acuerdo con el universo sobre el conjunto $\omega$ (estos son llamados $\omega$de los modelos).

Eso significa que la integridad teorema nos asegura que si algo no es demostrable a partir de $\sf ZFC$ podemos encontrar un modelo donde es falso; pero nada se dice de cómo ese modelo parece. Más específicamente, a partir de un conjunto teórico punto de vista, este modelo no será especialmente agradable. Sería mal fundada, y no estándar de los números enteros.