Encontrar una función suave $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $|f'(x)| < 1$ $f(x) \neq x$ todos los $x\in\mathbb{R}$

Question

Ejercicio: Encontrar una función suave $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $|f'(x)| < 1$ $f(x) \neq x$ todos los $x\in\mathbb{R}$

Tengo este ejercicio del libro "Curso de Análise: volumen 1", por Elon Lages Lima. (En Portugués).

Mis intentos de incluir

$1$) integrar las $\frac{2\text{arctan}(x)}{\pi}$, pero me sale esto. (La adición de más constantes, no parece ayudar.)

$2$) $f(x) = \text{sin}(x/2) + x + 2$ pero su derivada se vuelve demasiado grande.

Alguna idea?

Answer 1

Tomar cualquier rama de la hipérbola $y^2-x^2=1$. No cruzar la línea de $y=x$ y cumple con las condiciones requeridas.

Answer 2

$$f(x)=x-\arctan(x)+\frac{\pi}{2}$$

Answer 3

Una solución es una función que tiende a 0 en $-\infty$, y tiende a $x$$+\infty$. Por ejemplo, una hipérbola con asíntotas y=0 y y=x.

¿Sabe usted cómo construir una hipérbola?