Demostrar que $x$ tiene orden $5$ .

Question

Dejar $ x \in G$ tal que $(a^{-1})*(x^2)*(a) = x^3$ para alguna autoinversión $a.$ Demostrar que $x$ tiene orden $5.$

No sé cómo empezar esta prueba. Parece muy difícil.

Answer 1

$a^{-1}x^2a=x^3 \implies a^{-1}x^4a=x^6 \implies a^{-1}x^6a=x^9$ pero $x^6=x^3x^3=(a^{-1}x^2a)(a^{-1}x^2a)=a^{-1}x^4a \implies a^{-1}(a^{-1}x^4a)a=x^9 \implies a^{-1}a^{-1}x^4aa=x^9$ ahora usando $a^2=a^{-2}=e$ tenemos $x^4=x^9$ así que $x^5=e$ y porque $5$ es primo $x=e$ o $x$ tiene orden $5$ .

Answer 2

Ya que hay una respuesta arriba, yo haría $$ax^2a=x^3$$

$$x^2=a^2x^2a^2=ax^3a=x^3axa$$

$$axa=x^{-1}$$

$$ax^2a=x^{-2}=x^3$$

Dejando algunos trozos para rellenar.