¿Cuál es la derivada de la $x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$

Question

¿Cuál es la derivada de la $$x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$$

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Mi esfuerzo:

Deje $$g(x)=x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{x!^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}=>g(x)=x!^{g(x)}$$ Tomando natural de registro en ambos lados, $$\ln(g(x))=g(x)\cdot\ln(x!)$$ La diferenciación, $$\frac{1}{g(x)}\cdot g'(x)=g'(x)\cdot\ln(x!)+g(x)\cdot\frac{1}{x!}\cdot x!\cdot\psi^{(0)}(x+1)$$ $$=>g'(x)\left[\frac{1}{g(x)}-ln(x!)\right]=g(x)\cdot\psi^{(0)}(x+1)$$ Así que no aislar $g'(x)$ me dan la solución correcta? Si no, ¿cómo puedo solucionar para la diferencial?

Edit: La función gamma es, de hecho, asume de forma implícita cuando la función factorial se utiliza.

Answer 1

Su definición de la $g(x)$ no tiene sentido para $x! \gt e^{(1/e)} \approx 1.44467$ porque no convergen, como se ve en la respuesta a esta pregunta y esta pregunta. Es menos de lo que esta en los rangos de $-4.970 \lt x \lt -4.103$ $-0.380 \lt x \lt 1.614$ . Dentro de esos rangos, lo estás haciendo muy bien.

Answer 2

Yo diría que todo se ve bien, siempre y cuando se defina la $x! = \Gamma(x+1)$.