$\int_0^{f(a)} f^{-1}(t)\,dt + \int_0^a f(t)\,dt = af(a)?$

Question

Si $f: [0, a] \to \mathbb{R}$ es continua y $1$a -$1$$f(0) = 0$, ¿cómo hacer ver que $$\int_0^{f(a)} f^{-1}(t)\,dt + \int_0^a f(t)\,dt = af(a)?$$

Answer 1

deje $f(a) = b.$ completa el rectángulo con esquinas en $(0,0), (a,0), (a, b)$ $(0,b).$ verá que el rectángulo se divide en dos casi triangular en busca de las regiones:

(1) uno delimitada por $y = 0, x = a$ $y = f(x)$ a que el área de $\int_0^a f(x) \, dx$

(2) y el otro delimitada por $x = 0, x = f^{-1}(y)$ $y = b$ a que el área de $\int_0^b f^{-1}(y) \, dy$

pero estas dos áreas, que conforman el área del rectángulo, por lo tanto, tenemos $$\int_0^a f(x) \, dx + \int_0^b f^{-1}(y) \, dy = ab = af(a).$$

Answer 2

Sugerencia:Dejar $H(x)=\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt+\int_0^xf(t)dt$, $H'(x)=f^{-1}(f(x))f'(x)+f(x)=(xf(x))'$ $H(0)=(xf(x))(0)$ hecho.