Cualquier conjunto infinito de un conjunto compacto $K$ tiene un punto límite en $K$?

Question

Estoy leyendo principios de análisis matemático y tengo una pregunta acerca de un teorema 2.37.

Teorema 2.37

Si $E$ es un infinito subconjunto de un conjunto compacto $K$, $E$ tiene un punto límite en $K$.

La prueba es

Si no hay ningún punto de $K$ fueron un punto límite de $E$, cada una de las $q \in K$ tendría un vecindario $V_q$ que contiene más de un punto de $E$. Está claro que no hay finito subcolección de $\{V_q\}$ puede cubrir $E$. Lo mismo es cierto de $K$, ya que el $E \subset K$. Esto se contradice con la compacidad de $K$.

Entiendo la primera parte en la que los estados que no finito subcolección de $\{V_q\}$ puede cubrir $E$, en otras palabras, $E$ no es compacto. Pero no entiendo por que significa que no finito subcolección puede cubrir $K$. Es el autor diciendo que si un subconjunto de un conjunto K no es compacto, entonces $K$ no es compacto? Si ese es el caso, un conjunto compacto puede tener abiertos los subconjuntos que no son compactos, por lo que estoy confundido.

Gracias de antemano.

Answer 1

Un conjunto sin límite de puntos es necesariamente un conjunto cerrado. Ser un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto. Por otro lado, usted está buscando en una prueba de que $E$ es no compacto, por lo que tenemos una contradicción.

Alternativamente, mire este conjunto de barrios que cubren $E$ y añadir uno más en el conjunto abierto a esta colección: el complemento de $E$. Ese conjunto es abierto, ya que como se señaló anteriormente, $E$ es cerrado. Ahora usted tiene una cubierta abierta de a $K$. Por lo tanto, debe tener un número finito de subcover. Pero cada subconjunto finito de esta cobertura no cubre todos los de $E$, así que de nuevo hay una contradicción.

Answer 2

Ya que para todos $q$, $V_q \cap E$ tiene más de un elemento, para cualquier subconjunto finito $\{q_1,\ldots,q_n\}$,

$\bigcup_{i=1}^n V_{q_i} \cap E$ tiene más de $n$ elementos, es decir, es finito. Pero $E$ es la que asume el ser infinito, así que no podemos tener $\bigcup_{i=1}^n V_{q_i} \supset E$. Desde $K \supset E$, por lo tanto no podemos tener a $\bigcup_{i=1}^n V_{q_i} \supset K$, contradiciendo la compacidad de $K$.

Answer 3

Aquí está mi comentario, es tal vez un poco lejos de el tema, sin embargo, tengo la esperanza de que será útil para usted.

La compacidad condición es demasiado fuerte, sólo se necesitan los contables grado de afección en el Teorema.

Contables de medida= La cardinalidad de cualquier cerrada discretos subespacio debe ser contable.

Así que, de hecho, hemos

Si $E$ es un infinito subconjunto de un espacio de $K$ que es contable medida, $E$ tiene un punto límite en $K$.

Hay muchos topológica de un espacio que está contables punto, pero no compacto. Por ejemplo, countably espacio compacto, lindelof espacio, etc. Está lejos de contables grado de compacidad.