¿Alguien tiene un (semi-)intuitiva explicación de por qué el impulso es la transformada de Fourier de la variable de posición?
(Por semi-intuitivo quiero decir, yo ya tengo la intuición en la transformada de Fourier de entre tiempo/frecuencia de dominios en general, pero no veo por qué el impulso sería la transformada de Fourier de la variable de posición. E. g. Puedo esperar que sea un derivado).
El impulso es no la transformada de Fourier de la posición.
En la posición de la representación de la posición, que es el operador de multiplicación por $x$, mientras que el impulso es un múltiplo de diferenciación con respecto a los $x$. Estos observables (operadores) no son las transformadas de Fourier de cada una de las otras.
En el momento de la representación, el impulso es el operador de multiplicación por $p$, mientras que la posición es un múltiplo de diferenciación con respecto a los $p$. Estos observables (operadores) no son las transformadas de Fourier de cada una de las otras.
La razón por la que estas representaciones son apropiados para la posición y el momento es el hecho de que en ambas representaciones, los conmutadores de satisfacer la canónica relaciones de conmutación, el quantum analógica de la distribución de Poisson soporte de la relación $\{p,q\}=1$.
La transformada de Fourier viene sólo como el medio para pasar de la posición de la representación de impulso a la representación o a la inversa. La razón es que aparte de un factor de diferenciación de la transformada de Fourier de una función $\psi$ es equivalente a la multiplicación de la $\psi$, y la diferenciación de $\psi$ es equivalente a la multiplicación de la transformada de Fourier de $\psi$.
Para mí, esta es la forma intrínseca y, sencillamente, una generalización de de Broglie de la relación, $$p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k.$$ Por supuesto, este formulario es sólo para el plano de onda un poco de onda/partícula. En el caso general, como Schrödinger plantea, la partícula describe algunas de función $\psi(x)$ de la posición, que es distinto de cero en algunas rango definido de espacio. Porque usted no tiene un plano de onda más, usted debe tener un rango de longitudes de onda/momenta en juego; si sólo se puede traducir su posición-función en función de la longitud de onda (es decir, del momento) entonces quieres ser ordenados. Por suerte, esto es lo que una transformada de Fourier.
Una explicación intuitiva basada en el tiempo/frecuencia comprensión de la transformada de Fourier viene considerando a la par, $x$ $p/\hbar$ después de la relación de de Broglie Emilio puntos. De hecho, $p/\hbar$ tiene unidades de $1/distance$. Por lo tanto, se puede considerar $t\rightarrow x$$\omega\rightarrow k=p/\hbar$.
A partir de aquí podemos alinear la variable se encuentra en el tiempo/frecuencia de la transformada de Fourier de la teoría con la posición y el impulso de Fourier de la teoría: $$\begin{array}{lll} \textrm{Time/freq} & \textrm{Spc/momentum} \\ \hline t_n(s)&x_n&[n^{th} \textrm{ sample}]\\ N & M&[\textrm{Number of samples}]\\ \omega_m \left(\frac{rad}{s}\right)& k_m=\frac{p}{\hbar} \left(\frac{rad.}{m}\right)&\textrm{FT ang. freq. sample}\\ f_i=\frac{\omega_i}{2\pi} \left(\frac{1}{s}\right)& \tilde{\nu}_i=\frac{k_i}{2\pi} \left(\frac{1}{m}\right)&\textrm{FT freqency samples}\\ f(x_n)&f(t_n)&\textrm{Given function}\\ F(\omega_m)=\sum_n^{N-1}f(t_n)e^{-i\omega_mt_n} &\begin{array}{ll}F(k_m)=\sum_n^{N-1}f(x_n)e^{-ik_mx_n}\end{array}&\textrm{transformada de Fourier}\\ \end{array}$$ $k_i$ son llamados (angular) de la onda de números y si se considera ordinario frecuencia, $\tilde\nu=k_i/2\pi=p/h$ es el espectroscópicas número de onda (de forma análoga a $f_i=\omega_i/2\pi$).
El impulso se define por cómo una solución de la ecuación de onda evoluciona dinámicamente, por lo que la relación dada por la transformada de fourier no es general, sino que se limita a ciertas leyes de evolución. La ecuación de Schroedinger de la partícula libre tiene ciertas soluciones de la forma $\exp(i(\mathbf{k}.\mathbf{r}-\omega t))$ que no hacen más que traducir en el espacio con una velocidad constante. Su velocidad y el impulso es proporcional a $\mathbf{k}$. Y estas soluciones son también las únicas soluciones que tienen un definitivo impulso. Todas las otras soluciones son combinaciones lineales y, por tanto, el impulso superposiciones.
Si quieres saber que impulso contribuciones están presentes en una determinada función de onda, tienes que expandir esa función en términos de las soluciones definitivas de impulso. Afortunadamente, estas soluciones forman una base ortogonal del espacio de Hilbert, de modo que la expansión se convierte en un simple producto interior, es decir,$c(\mathbf{k},t) = \int_{-\infty}^\infty \exp(i(\mathbf{k}.\mathbf{r}-\omega t))^* \psi(\mathbf{r})d\mathbf{r}$. Ahora podemos aplicar el complejo de la conjugación y mover la dependencia del tiempo fuera de la integral: $c(\mathbf{k},t)=\exp(i\omega t)\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-i\mathbf{k}.\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})d\mathbf{r}$. No hemos asumido de cualquier dependencia del tiempo de la $\psi$, y así podemos asumir que $\psi$ se refiere a un estado en$t=0$, de modo que nos deshacemos de el factor principal y tiene $c(\mathbf{k})=\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-i\mathbf{k}.\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})d\mathbf{r}$, que es la transformada de Fourier de $\psi(\mathbf{r})$.
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