Factorizar $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)- 3x^2$

Question

Me estoy preparando para un examen y estaba resolviendo algunas preguntas de ejemplo cuando me salió esta pregunta -
Factorizar : $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)- 3x^2$$ Realmente no sé por dónde empezar, pero he ampliado todo para conseguir : $$x^4 + 12x^3 + 44x^2 + 72x + 36$$
Utilicé la prueba de las raíces racionales y la regla de los signos de Descartes para obtener conjeturas sobre las raíces. Los he probado todos y parece que este polinomio no tiene raíces racionales.Entonces, ¿qué debo hacer para factorizar este polinomio?

(He utilizado wolfram alpha y he obtenido la factorización : $(x^2 + 4x + 6) (x^2 + 8x + 6)$ Pero, ¿alguien puede explicar cómo llegar allí?)

Answer 1

Una forma de hacerlo es escribir $(x+2)(x+3) = x^2 + 6x + 6 - x$ , $(x+1)(x+6) = x^2 + 6x + 6 + x$ Así que

$$(x+2)(x+3)(x+1)(x+6) = (x^2 + 6x + 6)^2 -x^2$$ que da que $$(x+2)(x+3)(x+1)(x+6) - 3x^2 = (x^2 + 6x + 6)^2 -4x^2 = (x^2+ 4x + 6)(x^2 +8x + 6).$$

Answer 2

Supongo que estás buscando una factorización del polinomio $$f = x^4 + 12x^3 + 44x^2 + 72x + 36$$ en $\mathbb Q[x]$ . Por el lema de Gauss y el hecho de que $f$ es mónico, esto es lo mismo que buscar una factorización en $\mathbb Z[x]$ .

Como no hay raíces racionales, la única posibilidad que queda es la factorización en dos factores de grado 2. Como el polinomio es mónico, se puede suponer que los factores son mónicos. Así que los factores putativos tienen la forma $x^2 + ax + b$ y $x^2 + cx + d$ con $a,b,c,d\in\mathbb Z$ .

Esto lleva a $$f = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd.$$ Comparando los coeficientes, obtenemos cuatro ecuaciones $$a+c = 12\\ ac + b + d = 44\\ ad + bc = 72\\ bd = 36$$ Hasta intercambiar los dos factores, la última ecuación tiene las soluciones $$(b,d)\in\{(1,36),(-1,-36),(2,18),(-2,-18),(3,12),(-3,-12),(4,9),(-4,-9),(6,6),(-6,-6)\}.$$ Es un poco de trabajo, pero al introducir estos valores en las tres ecuaciones restantes, se encuentra que sólo para $b=d=6$ hay una solución, que es $a = 4$ , $b = 8$ o $a = 8$ , $b=4$ . Esto le da los dos factores.

Answer 3

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)-3x²$$ $$(x+1)(x+6)(x+3)(x+2)-3x²$$ $$(x²+6x+1x+6)(x²+3x+2x+6)-3x²$$ $$(x²+6x+6+1x)(x²+5x+6+x-x)-3x²$$ $$(x²+6x+6+1x)(x²+5x+x+6-x)-3x²$$ $$(x²+6x+6+1x)(x²+6x+6-x)-3x²$$ $$(x²+6x+6)²(+1x)(-x)-3x²$$ $$(x²+6x+6)²-x²-3x²$$ $$(x²+6x+6)²-4x²$$ $$(x²+6x+6)²-(2x)²$$ Aplique $a²-b²=(a+b)(a-b)$ $$(x²+6x+6+2x)(x²+6x+6-2x)$$ $$(x²+8x+6)(x²+6x-2x+6)$$ $$(x²+8x+6)(x²+4x+6)$$ $$x(x+8+6/x)x(x+4+6/x)$$ Respuesta: $$x²(x+8+6/x)(x+4+6/x)$$

Answer 4

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)-3x^2$

$\rightarrow(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)-3x^2$

$\rightarrow(x^2+x+6x+6)(x^2+2x+3x+6)-3x^2$

$\rightarrow(x^2+7x+6)(x^2+5x+6)-3x^2$

$\rightarrow(x^2+6+7x)(x^2+6+5x)-3x^2$

Poner :- $x^2+6=y$ eq( $1$ ) . Así que :-

$(y+7x)(y+5x)-3x^2$

$\rightarrow y^2+7xy+5xy+35x^2-3x^2$

$\rightarrow y^2+12xy+32x^2$

$\rightarrow y^2+4xy+8xy+32x^2$

$\rightarrow y(y+4x)+8x(y+4x)$

$\rightarrow (y+4x)(y+8x)$

Poner valor de $y$ a partir de la ec(1), obtenemos :-

$\rightarrow (x^2+6+4x)(x^2+6+8x)$