$\pi + e$ es racional o $\pi-e$ es racional

Question

Me pidieron que encontrara el valor de verdad de la afirmación:

$$ \pi + e \; \text{ is rational or } \pi - e\; \text{ is rational } $$

Sólo se me permite utilizar el hecho de que $\pi, e $ son números irracionales y no pueden utilizar la teoría de los números trascendentales.

No puedo proceder. Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Esto parece ser un problema abierto. Es una conjetura que la afirmación es falsa, es decir, que $\pi + e$ y $\pi - e$ son irracionales. Según Wikipedia esto sigue sin probarse. (Imagínese el impacto del descubrimiento de una ecuación como $\pi=e+\frac{4233108252.........3123782}{31238295213.......0591231}$ ... ¡increíble!)

Observa que al menos uno de esos números es irracional, incluso trascendental (¡pero esto no demuestra que ambos sean irracionales!). Porque si ambos fueran algebraicos, entonces su suma sería algebraica, lo que es $2 \pi$ , una contradicción. Nótese que este argumento no es constructivo en absoluto, y de nuevo que no decide si " $\pi+e$ es racional o $\pi-e$ es racional" es falso o no, sólo demuestra que la afirmación más fuerte " $\pi+e$ es racional y $\pi-e$ es racional" es falso.

Answer 2

$2\sqrt2$ y $\sqrt2$ son dos números irracionales distintos s.t. la afirmación: ' $2\sqrt2+\sqrt2$ es racional o $2\sqrt2-\sqrt2$ es racional no es cierto .

$\sqrt2$ y $2-\sqrt2$ son dos números irracionales distintos s.t. la afirmación: ' $\sqrt2+(2-\sqrt2)$ es racional o $\sqrt2-(2-\sqrt2)$ es racional es cierto .

Esto ilustra que la afirmación no puede ser probada únicamente basándose en el hecho de que $\pi$ y $e$ son irracionales.