¿Puede una serie estar vacía?

Question

Suena contraintuitivo, ya que no existirá sin elementos. Sin embargo, estoy pensando en conjuntos vacíos, secuencias nulas y listas vacías, que efectivamente existen.

Answer 1

Sí. Una suma vacía se define para tener el valor $0$ .

Answer 2

Una regla básica sobre las sumas es que $\sum\limits_{\alpha\in A}x_\alpha+\sum\limits_{\alpha\in B}x_\alpha=\sum\limits_{\alpha\in A\cup B}x_\alpha$ siempre que existan estas sumas y $A\cap B=\varnothing$ . Usando esto para $B=\varnothing$ y cualquier $A$ impone que $\sum\limits_{\alpha\in \varnothing}x_\alpha=0$ . (Nótese que, por la misma lógica, $\prod\limits_{\alpha\in \varnothing}x_\alpha=1$ .)