¿Cuál es la diferencia entre Categorías y Relaciones?

Question

Para tener una base común, enunciaré las definiciones básicas de una categoría y del tipo de relación en que estoy pensando. Están aquí para una rápida claridad, no para precisión, así que siéntete libre de revisarlas para obtener una respuesta.

Categoría:
Una colección de objetos, una colección de flechas cada una con un origen y un destino entre dichos objetos, flechas de identidad, y un operador de composición que satisface una ley asociativa sobre flechas.

Relación reflexiva sobre AxA:
Una colección de objetos, un multiconjunto etiquetado de pares de dichos objetos que satisface la ley reflexiva y la operación combinatoria de relación estándar (que satisface la ley asociativa).
Obsérvese que las relaciones de conjuntos múltiples etiquetados se expresan y utilizan comúnmente en matemáticas discretas como multigrafos. Colapso aquí grafos y relaciones para un tratamiento axiomático unificado. Esto no es para tratar, por ejemplo, los caminos sobre grafos como diferentes de la composición de relaciones.

¿Qué separa exactamente a estos dos? A mí me parecen esencialmente idénticas en definición y significado. Las relaciones parecen inmediatamente más generales, dado que las categorías sólo son análogas a una cierta clase restringida de relaciones.
Observo alguna diferencia notacional, como la forma en que las categorías nombran cada flecha; no veo cómo eso cambiaría la potencia matemática. Lo mismo ocurre con el tratamiento explícito de la composición. Aunque tales artificios pueden resultar útiles para ciertas pruebas o exploraciones, no veo cómo justifica tratar las dos como ramas separadas en lugar de calzas sintácticas sobre conceptos idénticos.

[EDITOS: declaración de asociatividad fija, relaciones ampliadas a la representación de conjuntos múltiples con analogía de grafos].

Answer 1

Qiaochu tiene razón: las categorías son mucho más generales. Permítanme dar un ejemplo concreto que, aunque en cierto sentido trivial, puede ilustrar cuánto más se puede obtener de una categoría de lo que se puede obtener de una categoría reflexiva y transitivo relación.

Consideremos los números enteros positivos $\mathbb P$ . El orden total habitual $\leqslant$ es una relación reflexiva y transitiva perfectamente buena en este conjunto. Podemos pensar en esto como una categoría que consiste en el mapa de identidad $\mathrm{id}_n$ en cada número entero n  ∈  $\mathbb P$ y la composición de los mapas sucesores $\sigma_n: n \to n+1$ . El resultado es esencialmente un casi grafo acíclico dirigido (todos los circuitos son paseos estacionarios sobre un único vértice).

Ahora permítanme describirles una categoría diferente sobre los números enteros positivos: la categoría de mapas lineales inyectivos sobre espacios vectoriales reales finito-dimensionales - es decir, la categoría cuyos objetos son los números enteros positivos, y cuyas flechas son m  ×  n matrices sobre $\mathbb R$ con rango n para m  ≥  n .

Al margen . "¿Qué?", exclamarás; "¿Cómo puedes hablar de matrices que tienen dominios y codominios formados por números enteros positivos?". Bueno, la forma de cada matriz define con qué tipo de otras matrices se puede componer, y cualquier acción de una matriz M sobre un vector v  ∈  $\mathbb R^n$ podría considerarse que componen el m  ×  n matriz M con el n  × 1 matriz v para obtener un m  × 1 matriz M v . Los números enteros representan la dimensión del espacio vectorial $\mathbb R^n$ o $\mathbb R^m$ que son el dominio y el codominio "reales" de la matriz; y porque podemos sustituir la acción lineal de los operadores sobre $\mathbb R^n$ con el efecto de componer dos operadores lineales (uno de los cuales resulta tener un dominio de $\mathbb R^1$ ), podemos ignorar la estructura interna de los espacios vectoriales y referirnos a ellos sólo por sus dimensiones.

Al igual que en el grafo dirigido generado por el orden total ≤, existen flechas m  →  n para cualquier m  ≥  n (por definición). Todos los mapas de n a m para m  >  n +1 puede obtenerse componiendo mapas n  →  n +1 y n +1 →  m ; y además, todos los mapas n  →  n +1 puede obtenerse componiendo cualquier persona designada mapa $\sigma_n: n \to n+1$ con un mapa adecuado $\tau: n \to n$ . Así que esta categoría tiene varias cosas en común con la definida por el orden total ≤. Pero hay diferencias importantes, debidas en parte al hecho de que hay infinitos mapas n  →  n para cada n . Por ello, esta segunda categoría tiene mucha más estructura que una relación binaria.

Por ejemplo, resulta significativo e interesante hablar de coproductos .

Definición. Sea A,B sean dos objetos. A coproducto de A y B es un objeto ( A  $\amalg$  B ), junto con dos mapas i _A  :  A  → ( A  $\amalg$  B ) y i _B  :  B  → ( A  $\amalg$  B ) tal que, para cualquier otro objeto X y mapas f  :  A  →  X y g  :  B  →  X existe un único mapa ( f  |  g ) : ( A  $\amalg$  B ) →  X tal que f  = ( f  |  g )  $\circ$  i _A y g  = ( f  |  g )  $\circ$  i _B  . Es decir, en el siguiente diagrama, dos paseos dirigidos cualesquiera entre un par de puntos comunes representan el mismo mapa:

$\begin{matrix} \qquad\! A \!\!&\!\! \xrightarrow{\textstyle \;i_A\;} \!\!&\!\! (A \amalg B) \!\!&\!\! \xleftarrow{\textstyle \;i_B\;} \!\!&\!\! B \!\qquad \\ \mathrm{id_A}\Bigg\updownarrow & & \Bigg\downarrow(f|g)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!& &\Bigg\updownarrow\mathrm{id_B} \\ \qquad\! A \!\!&\!\! \xrightarrow[\textstyle \quad f \quad] \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\! X \!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \xleftarrow[\textstyle \quad g \quad] \!\!&\!\! B\!\qquad \end{matrix}$

1. En el caso del orden parcial ≤, el coproducto de A y B es sólo   max  {  A, B  } , que debería comprobar usted mismo.

2. En la categoría de matrices que hemos descrito anteriormente, el coproducto de A y B no es el máximo de A y B sino que es el número entero A + B correspondiente a la división de un vector de dimensión A + B en un bloque de tamaño A y un bloque de tamaño B .

   • El mapa de la "inclusión $i_A$ correspondería a la asignación de un vector en v  ∈  $\mathbb R^A$ en el primer A coeficientes de un vector en $\mathbb R^{A+B}$ y los demás a cero;
   • El mapa de la "inclusión $i_B$ sería similar, asignando vectores en $\mathbb R^B$ en la final B coeficientes.
   • Para las funciones f :  A  →  A + B y g :  B  →  A + B el mapa ( f  |  g ) corresponde a la realización del mapa f al primer bloque y g al segundo bloque del vector.

   Por supuesto, hay más de una forma de descomponerse $\mathbb R^{A+B}$ en bloques; podríamos haber elegido una definición diferente para los mapas i _A y i _B teniendo i _B vectores cartográficos en $\mathbb R^B$ en el primer B coeficientes, y i _A mapear vectores en el A coeficientes. Esta forma de incrustación $\mathbb R^A$ y $\mathbb R^B$ en el mismo espacio al mismo tiempo es equivalente a la que describimos anteriormente; de hecho, podemos demostrar que existe un isomorfismo único entre estas dos formas de construir ( A  $\amalg$  B ). Por lo tanto, el coproducto ( A  $\amalg$  B ) depende de la elección de los mapas i _A y i _B - pero no de ninguna manera que sea realmente importante.

Aunque la primera categoría generada por ≤ es la que se obtiene al olvidar la estructura matricial de la segunda categoría -reemplazando cada colección infinita de flechas en cada caso por una única flecha entre los mismos puntos-, esa segunda categoría de operadores lineales inyectivos es sustancialmente distinta de la simple descrita por ≤.

Esto es sólo arañar la superficie de una uña de la teoría de categorías; pero esperemos que te convenza de que las categorías y las relaciones binarias reflexivas y transitivas no son trivialmente equivalentes.

Answer 2

Un multigrafo dirigido puede considerarse un complejo simplicial unidimensional: los vértices son puntos y las aristas son 1-simplos.

Dada una categoría, podemos formar su nervio, y el 1-esqueleto será esencialmente un multigrafo.

La observación del PO es que estas dos construcciones son aproximadamente inversas entre sí.

La relación entre los conjuntos simpliciales y las categorías es importante, y está en la base de la teoría de las categorías superiores y su relación con la teoría de la homotopía. Por tanto, la observación y la pregunta de la OP no deberían desestimarse.

Por otra parte, no estoy seguro de estar de acuerdo con el sentimiento de la frase final no parentética del OP: "No veo cómo se justifica tratar a las dos como ramas separadas en lugar de calzas sintácticas sobre conceptos idénticos". Ciertamente, tanto los teóricos de los (multi)grafos como los de las categorías (superiores)/homotopías realizan estudios intensivos de conjuntos simpliciales unidimensionales. unidimensionales, pero las preguntas que se plantean y las construcciones que les interesan suelen ser muy diferentes. Si encuentran un terreno común, estupendo, pero no tienen por qué estar obligados a buscarlo.

Además, la mayoría de los matemáticos en activo que utilizan categorías no piensan en absoluto de forma homotópica/simplificada sobre las estructuras implicadas, sino que se limitan a aprovechar el lenguaje y la gama de conceptos muy útiles que proporciona la teoría de categorías. Se trata de conceptos que (que yo sepa) no utilizan en absoluto quienes estudian los multigrafos y estructuras afines, por lo que no veo ninguna razón por la que se deba obligar o incluso animar a la gente a traducir (lo que para ellos son) nociones familiares de la teoría de categorías a un marco terminológico diferente de relaciones/multigrafos.

[Añadido: El comentario de Ryan Budney expone esencialmente la misma cuestión de forma más concisa].

Answer 3

Este es un ejemplo de que los axiomas de una teoría no dice mucho de las intenciones con la teoría. El propósito de la relación nunca ha sido estudiar propiedades universales, por ejemplo.