Es bien sabido que el mapa de $Aut$ a partir de la clase de grupos que de sí misma tiene puntos fijos. Para $n \neq 2$ o $6$, $Aut(S_n) \cong S_n$, $Aut(D_4) \cong D_4$ y si $G$ es finito, no abelian simple grupo, a continuación,$Aut(Aut(G)) \cong Aut(G)$.
Surge la pregunta de si hay un punto fijo entre los no-trivial abelian grupos. Es relativamente fácil ver que finitely generado abelian grupos de no calificar, por lo que si tal grupo existe, tiene que ser infinitamente generado. Tenga en cuenta que para topológico de automorfismos de topológicos, grupos de puntos fijos son conocidos: por ejemplo,"$Aut(\mathbb{R} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Pero no asumimos ninguna estructura adicional impuesta.
