Esta pregunta tiene probablemente una respuesta muy sencilla.
Estoy tratando de entender la prueba del siguiente resultado de Dummit y Foote, 3ed:
Esta es la proposición a la que se hace referencia:
No entiendo la parte en la que la Propuesta 13 se aplica "con $N_G(H)$ desempeñando el papel de $G$ ". ¿No me daría esto sólo $N_G(H)/C_{N_G(H)}(H)$ es isomorfo a un subgrupo de $\text{Aut}(H)$ ? ¿Cómo es que $C_G(H)$ ¿aparecer?
Gracias por cualquier ayuda.
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Tienes razón, pero si $g$ está en $C_G(H)$ entonces a fortiori $g$ está en $N_G(H)$ Así que $C_G(H) = C_{N_G(H)}(H)$ . (Deberías escribir las definiciones de los dos conjuntos que afirmo que son iguales y convencerte de que son iguales).
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$C_G(H)$ está ciertamente contenida en $N_G(H).$ Por lo tanto, $C_{N_G(H)}(H)$ es lo mismo que $C_G(H).$
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Gracias Geoff y William. Ahora está muy claro que $C_X(H) = C_G(H) \cap X$ y así $C_{N_G(H)}(H) = C_G(H) \cap N_G(H) = C_G(H)$ .