Número esperado de veces de Paseo Aleatorio cruces de línea 0.

Question

Supongamos que tenemos un simple paseo aleatorio:

$$ x_t = x_{t-1} + \epsilon_{t} $$

Where

$$ \epsilon_{t} = iid\ \mathcal{N} (0,1) $$

Suponga que x comienza en 0 ¿cuál es el número esperado de veces x de atravesar la 0 punto N número de períodos?

Estoy más interesado en el método de obtención de la respuesta de la respuesta misma.

Lo que tengo hasta ahora: yo estaba buscando en el caso simple donde N = 2, y en este caso se espera que el número de cruces que parece ser 0.25. Intuitivamente, esto tiene sentido, en el primer período en el que se trasladó en algún lugar, y en el segundo la probabilidad de que nos movemos en la dirección correcta es de 0,5, y de que 0.5, la probabilidad (en promedio) que nos movemos lo suficiente para atrás a la cruz es de 0,5, por lo que 0.5 * 0.5 => 0.25.

Yo validado este con la simulación:

import numpy as np

def simulations(n, n_iterations):
    return sum(my_one_run(n) for _ in xrange(n_iterations)) / float(n_iterations)

def my_one_run(n):
    path = [0]
    n_crosses = 0
    for i in xrange(n):
        prev = path[-1]
        new_x = prev + np.random.normal(0,1)
        path.append(new_x)
        if prev * new_x < 0:
            n_crosses += 1
    return n_crosses

Y mis resultados han sido confirmados:

In [66]: simulations(2, 1000000)
Out[66]: 0.250249

Sin embargo, no veo cómo proceder para un caso más complicado, incluso en el caso más general.

(Esto no es una tarea pregunta, si esta materia. Sólo estoy tratando de explorar algo en esta área y quería empezar con una base de caso.).

Answer 1

La ubicación de la densidad después de $n$ se mueve es $$ \frac1{\sqrt{n}}f\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right) $$ Dado que estamos actualmente en la $x$, la probabilidad de que vamos a cruzar el origen en el movimiento siguiente es $$ \int_{t\ge|x|}f(t)\,\mathrm{d}t $$ Así que la probabilidad de que en la jugada $n+1$, cruzamos el origen es $$ \int_{\mathbb{R}}\int_{t\ge|x|}\frac1{\sqrt{n}}f\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)f(t)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x =\int_{\mathbb{R}}\int_{t\ge|x|\sqrt{n}}f(x)f(t)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x $$ cual es la probabilidad de que, dada una distribución de Gauss en $\mathbb{R}^2$ que terminamos en la cuña $\{(x,t):t\ge|x|\sqrt{n}\}$, que es $$ p_n=\frac1\pi\bronceado^{-1}\left(\frac1{\sqrt{n}}\right) $$ Por lo tanto, se espera que el número de intersecciones cero en $n$ movimientos podría ser $$ e_n=\frac1\pi\sum_{k=1}^{n-1}\bronceado^{-1}\left(\frac1{\sqrt{k}}\right) $$ Aplicar esto a $n=2$, y llegamos $\frac14$ precisamente.

Aquí hay una pequeña tabla $$ \begin{array}{r|l} n&e_n\\ \hline 2&0.250000\\ 3&0.445913\\ 4&0.612580\\ 5&0.760164\\ 6&0.894024\\ 7&1.017400\\ 8&1.132426\\ 9&1.240600\\ 10&1.343016 \end{array} $$ Asintóticamente, se espera que el número de cruces por cero es $$ \frac{2n^{1/2}}\pi+C+\frac1{6\pi n^{1/2}}-\frac1{120\pi n^{3/2}}-\frac1{840\pi n^{5/2}}+\frac5{8064\pi n^{7/2}}+\frac1{4224\pi n^{9/2}} $$ donde $C=-0.686843660075987093$