¿Hay algún criterio de si un espacio tiene el tipo de homotopía de un múltiple cerrado (liso o topológico)? Dualidad de Poincaré es una obvia condición necesaria, pero seguramente no es suficiente. ¿Hay otras propiedades homotopical especial de las variedades?
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berberich
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El principal resultado de la Browder-Novikov-Sullivan-cirugía de la Pared de la teoría (1962-1969) es que para n>4 un espacio X es homotopy equivalente a la de un compacto de n-dimensiones topológicas (resp. diferenciable) colector si y sólo si X es homotopy equivalente a un número finito de CW complejo M con n-dimensional de la dualidad de Poincaré, y hay un topológico (resp. vector) paquete de más de M para los que el correspondiente mapa normal (f,b):N--> M de un n-dimensional colector N tiene cero de la cirugía de obstrucción en la Pared de L grupo de formas cuadráticas sobre Z[π1(X)]. Por lo tanto, hay dos obstáculos, uno de los principales topológica de la K-teoría de la obstrucción a la existencia de un paquete, y (dependiendo de la desaparición de la principal, y una elección de la razón), secundaria a la obstrucción algebraica L-teoría. La teoría original fue para diferenciable colectores: la extensión de la topológico colectores debido a Kirby y Siebenmann (1970), sigue siendo un gran éxito de la cirugía de la teoría. Todo esto se explica (en algunos longitud) en la Pared del propio libro de Cirugía de la compacta colectores (1970/1998) y también en mis propios libros Algebraicas L-teoría y topológica de los colectores (1992) y Algebraicas y geométricas de la cirugía (2002), así como muchas otras referencias (como Wolfgang Lück las notas que figuran en un post anterior). Me han puesto a disposición una gran cantidad de la cirugía de los recursos relacionados con en mi sitio web.
Arda Xi
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En la cirugía de la teoría (que es, básicamente, un campo de las matemáticas que se intenta responder a preguntas como las anteriores), el siguiente obstáculo para la existencia de un colector en la homotopy tipo es que cada finito complejo con la dualidad de Poincaré es la base del espacio de una cierta distinguido fibration (Spivak normal fibration), cuya fibra es homotopy equivalente a una esfera. (Con el fin de obtener un único tal fibration, identificar dos fibrations si son de fibra de homotopy equivalente o si uno se obtiene del otro por fiberwise suspensión.) Para los colectores, este fibration es la esfera paquete de la normal de paquete, por lo que la Spivak normal fibration viene de un vector paquete. Este es invariante bajo homotopy de equivalencia. Así que la siguiente obstrucción es: la Spivak normal fibration debe venir de un vector paquete.
Si no recuerdo mal, entonces Novikov fue el primero que demostró que para simplemente conectado a espacios de dimensión impar de al menos 5, este es el único aún más la obstrucción.
En general, hay una mayor obstrucción con valores en un grupo de L_n(pi_1,w) que depende el grupo fundamental, primero Stiefel-Whitney de la clase y de la dimensión. Ver Lück notas sobre la cirugía de la teoría en http://wwwmath.uni-muenster.de/u/lueck/publ/lueck/ictp.pdf .
Eric Haskins
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Jacob Lurie dio una charla la semana pasada en Pedro de Mayo de cumpleaños de la conferencia no conmutativa la dualidad de Poincaré. La idea es tomar una n-variedad M y (n-1)-conectado espacio X. Luego, mostró que el pacto por la asignación de espacio Map_c(M,X) es isomorfo a un cierto homotopy colimit más de una categoría determinada de abrir los subconjuntos de M. Esto es equivalente a la usual conmutativa de la dualidad de Poincaré. Sin embargo, no está claro (para mí) lo que el natural de la generalización de la instrucción es no-colectores. Así que, no estoy seguro de cómo utilizar esto como una prueba. Sin embargo, si que se podría utilizar como una prueba de un colector, parece factible que si el no conmutativa declaración a cabo para su examen espacio M y (n-1)-espacios conectados X para algún X, parece razonable preguntarse si la prueba de que el espacio es el homotopy tipo de un n-manifold.
La categoría de abrir los conjuntos sobre los que Lurie toma la colimit es la categoría de bolas disjuntas (homeomórficos a R^n) en M. por Lo tanto, supongo que podría ser algo como: si M es un espacio, y si U es una categoría de abrir conjuntos de M que cubren M, y si Map_c(M,X) es equivalente a la homotopy colimit de Map_c(U_i,X) para todos los U_i en U para todos los (n-1)-conectado X para algún n, entonces M tiene la homotopy tipo de un n-manifold.
No tengo idea de si esto es cierto, y aunque es cierto, no está claro si sería útil.
bignose
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Sean: esto le da a Poincaré espacio que no es homotopy equivalente a un colector cerrado. la idea es que la Spivak fibration de las 5 dimensiones de Poincaré espacio no levantar una estabilidad del vector paquete. Uno puede demostrar que esto de la siguiente manera: sea X^5 como en Madsen y Milgram. Entonces X fibras de más de S^3 con fibra de S^2. Llamar a este fibration xi, y dejar que la proyección de X -> S^3, p. Tenga en cuenta que p tiene una sección, llamada s.
No es difícil demostrar que la Spivak fibration de X en este caso es solo p*\xi. Uno, a continuación, debe comprobar que p*\xi no levantar una estabilidad del vector paquete. Pero si lo hizo, entonces así que sería xi = (p o s)*\xi = s*p* \xi. Pero es muy fácil ver que xi no ascensor (xi, está dado por el elemento no trivial de pi_2(F) = Z_2, donde F clasifica esférica fibrations con la sección, mientras que pi_2(O) es trivial).
