Deje $M_n(\mathbb C)$ ser el álgebra de $n\times n$ matrices complejas. Los coeficientes del polinomio característico $\det(\lambda I-A)=\sum f_i(A)\lambda^i$ son polinomios en las entradas de $A\in M_n(\mathbb C)$, y la conjugación de invariantes. Por otra parte, cada conjugación invariante de la función polinómica $F:M_n(\mathbb C)\to \mathbb C$ es de la forma$P(f_0,f_1,\ldots, f_{n-1})$$P\in \mathbb C[x_0,\ldots,x_{n-1}]$.
Aquí está una prueba (pase el ratón sobre la vista):
Dado un grupo de acción en un espacio, una invariante de la función debe ser constante en el cierre de cada órbita. Debido a que el cierre de cada clase conjugacy contiene una matriz diagonal, las entradas de los cuales son los autovalores de las matrices en la clase conjugacy, funciones invariantes debe ser polinomios en los valores propios. Dado cualquier permutación $\sigma\in S_n$, $\operatorname{diag}(a_1,\ldots, a_n)$ es conjugado a $\operatorname{diag}(a_{\sigma(1)},\ldots, a_{\sigma(n)})$, y, por tanto, un invariante de la función debe ser simétrica de la función en los valores propios. El coeficiente de $f_i(A)$ es de hasta un signo de que el $(n-i)$th primaria simétrica de la función en los valores propios de a $A$, y desde la primaria simétrica de las funciones de generar el anillo de todos los simétrica funciones, el resultado de la siguiente manera.
Hay una prueba que no requiere de la reducción del problema de autovalores y simétrica funciones? Tal vez lo más importante, el resultado puede extenderse a no algebraicamente cerrado campos u otra base de anillos donde esta particular prueba falla porque no tenemos diagonalización? Si no, ¿qué otro conjugación-invariante funciones polinómicas hay más de $\mathbb R$, $\mathbb Q$, o $\mathbb Z$?
