Compacto mapas problema en Lax

Question

En el Análisis Funcional de Peter Lax hay el siguiente ejercicio

Mostrar que si $\bf C$ es compacto y $\{{\bf M}_n \}$ tiende fuertemente a$\bf M$, $\bf CM_n$ tiende de manera uniforme a $\bf CM$.

Los supuestos son que el ${\bf C}: {\bf X} \rightarrow {\bf X},{\bf M_n}: {\bf X} \rightarrow {\bf X}$ donde $\bf X$ es un espacio de Banach

Yo estaba pensando que uno podría utilizar que si se deja en $x_i$ ser tal que $|({\bf M_i-M})x_i|\ge||{\bf M_i-M}|| - \epsilon $. Luego de la compacidad de $\bf C$ tenemos que hay una secuencia finita $j=1\ldots,n$ ${\bf C}({\bf M_j-M})x_j$ s.t $\min_j ||{\bf C}({\bf M_j-M})x_j - {\bf C}({\bf M_i-M})x_i||<\epsilon$ para todo i. Pero yo no llegar a ninguna parte.

Answer 1

Como Jonas Wallin, señala en su respuesta, no es necesariamente cierto que el $CM_n-MC\to 0$ de manera uniforme, incluso en el contexto de los espacios de Hilbert. Es sin embargo cierto en lo finito dimensional espacios vectoriales, como una fuerte convergencia es la misma cosa como la convergencia uniforme en este caso en particular.

Sin embargo, tal vez Lax pretende mostrar que $M_nC-MC\to 0$ uniformemente. En este caso, podemos seguir los siguientes pasos.

1. Suponemos que $M=0$, a considerar de otra manera $M_n-M$.
2. Utilizando el principio de acotamiento uniforme, se obtiene que el $R:=\sup_{n\in\Bbb N}M_n$ es finito.
3. Deje $\delta$ tal que $\delta\leqslant\limsup_{n\to +\infty}\lVert M_nC\rVert$. Deje $\{n_k\}$ estrictamente creciente secuencia de números enteros tales que a $\delta\leqslant \lVert M_{n_k}C\rVert$, e $x_k$ norma $1$ tal que $\lVert M_{n_k}C\rVert\leqslant k^{-1}+\lVert M_{n_k}Cx_k\rVert$.
4. La secuencia de $\{Cx_k\}$ se encuentra en un conjunto compacto, por lo tanto, el extracto de una convergencia de subsequence $\{x_{k'}\}$ algunos $y$.
5. Tenemos para todos los $k'$ que $$\delta\leqslant k'^{-1}+\lVert M_{n_{k'}}(Cx_{k'}-y)+M_{n_{k'}}y\rVert\leqslant k'^{-1}+R\lVert Cx_{k'}-y\rVert+\lVert M_{n_{k'}}y\rVert.$$
6. Tomando el límite de $k'\to +\infty$ en la tarde de la desigualdad, obtenemos que $\delta=0$.

Answer 2

Yo creo que el problema está mal. Aquí está un ejemplo contrario:

Suponga que ${\bf X}=l^2$, ${\bf C}x=(x,e_1)e_1$ y ${\bf M}_nx=(x,e_n)e_1$.

${\bf M_n} x\rightarrow 0$ todos los $x$, lo ${\bf M_n} \rightarrow {\bf 0}$.

Pero $||{\bf C M}_n - {\bf C 0}|| = ||{\bf C M}_n|| \geq ||{\bf C M}_ne_n||=||(e_n,e_n)(e_1,e_1)e_1||=1.$