¿Cuál es el límite proyectivo de estos anillos polinómicos?

Question

Definir un sistema inverso de anillos de polinomios sobre un anillo conmutativo $k$ mediante la proyección canónica $k[x_1,...,x_n] \to k[x_1,...,x_m]\;(m< n)$ .

Pregunta: ¿Cuál es el límite proyectivo $\varprojlim_n k[x_1,...,x_n]$ ?

Answer 1

Nótese que podemos escribir, como conjuntos:

$$ k[x_1, x_2, \cdots, x_n] \cong k[x_1] \times x_2 k[x_1, x_2] \times \cdots \times x_n k[x_1, x_2, \cdots, x_n]$$

(todos los componentes del producto menos el primero son ideales) Un elemento del producto se interpreta como la suma de todos sus componentes. Además, la proyección canónica (suponiendo que se refiere a enviar $x_n$ a $0$ ) no son más que las proyecciones sobre la primera $m$ componentes.

Por lo tanto,

$$ \lim_n k[x_1, x_2, \cdots, x_n] \cong k[x_1] \times x_2 k[x_1, x_2] \times x_3 k[x_1, x_2, x_3] \times \cdots $$

Lo que es la adición debería ser sencillo. Trabajar con la multiplicación debería ser similar en sabor a trabajar en anillos de series de potencias.

Los elementos deberían considerarse como sumas infinitas; dado un conjunto finito de variables, cada una de estas sumas sólo debería tener un número finito de monomios que impliquen sólo esas variables.

Answer 2

Recientemente se ha vuelto a plantear esta pregunta aquí Así que he pensado dar un punto de vista alternativo, presentando el anillo como un anillo de sumas formales.

Un anillo más grande

Sea $I$ rango sobre secuencias $(i_1,\ldots,i_n,\ldots)$ de números naturales con sólo un número finito de términos distintos de cero. Llamemos a este conjunto de secuencias $\newcommand\N{\Bbb{N}}\N^{(\N)}$ . Consideremos las sumas formales sobre este conjunto de secuencias, $$ \sum_{I} a_I x^I, $$ con el $a_I\in R$ y donde $x^I$ es un elemento formal que consideramos que representa el monomio (finito) $$\prod_{n=1}^\infty x_n^{i_n}.$$

Sin restricciones en la $a_I$ la colección de todas esas sumas formales forma un anillo, siendo el producto el producto de convolución habitual, $$ \newcommand\of[1]{\left({#1}\right)} \of{\sum_I a_I x^I} \of{\sum_J b_J x^J} = \sum_K c_K x^K, $$ donde $$c_K = \sum_{I+J=K} a_Ib_J,$$ observando que la suma es finita, ya que $K$ sólo tiene un número finito de términos distintos de cero.

Obsérvese también que el conjunto de sumas formales puede identificarse con el conjunto de funciones, $\mathbf{Set}(\N^{(\N)},R)$ .

Algunos comentarios

Nótese que este anillo es demasiado grande para ser nuestro límite, ya que contiene anillos de series de potencias, cosas como $\sum_{n=0}^\infty x_1^n$ .

De hecho, ésta es la variante (iii) de un anillo formal de series de potencias en infinitas variables $R[[x_1,\ldots,x_n,\ldots]]$ aquí .

El anillo límite como subring

Sea $S$ sea el anillo de todas las sumas formales definidas anteriormente. Queremos producir un subring $T$ que será nuestro anillo límite. El problema clave es que $S$ contiene términos de grado infinito en una variable fija, lo que no está permitido en nuestro límite.

Sea $\pi_n : S\to R[[x_1,\ldots,x_n]]$ sea la proyección sobre este subconjunto de variables, definida observando que tenemos una inclusión $\iota_n: \N^n\hookrightarrow \N^{(\N)}$ como la primera $n$ por lo que la precomposición induce un mapa $$\iota_n^* : \mathbf{Set}(\N^{(\N)},R)\to \mathbf{Set}(\N^n,R)$$ que respete la estructura del anillo.

Tenemos que $$ \pi_n\of{\sum_I a_Ix^I}= \sum_J b_Jx^J, $$ donde $J$ abarca varios índices $J=(j_1,\ldots,j_n)$ y $b_J = a_{\iota_n(J)}$ .

Entonces defina $$ T = \bigcap_n \pi_n^{-1}(R[x_1,\ldots,x_n]).$$

$T$ es nuestro límite.

Por definición de $T$ los mapas $\pi_n: S\to R[[x_1,\ldots,x_n]]$ restringir a mapas $\pi_n : T\to R[x_1,\ldots,x_n]$ . No es difícil comprobar que tal definición nos da un cono de $T$ a nuestra secuencia en $R$ -álgebras.

Por otra parte, dado un cono de otro $R$ -álgebra $T'$ a cada anillo polinómico, $\psi_n : T'\to R[x_1,\ldots,x_n]$ entonces defina $\tilde{\psi} : T'\to T$ por $\tilde{\psi}(t) = \sum_I a_I x^I$ con $a_I$ el coeficiente de $\pi_N(x^I)$ en $\psi_N(t)$ donde $N$ es lo suficientemente grande como para que $i_m = 0$ para $m> N$ ya que $I$ sólo tiene un número finito de términos distintos de cero. No es difícil comprobar que está bien definido y es único.

Editar nota

Originalmente definí $T$ de la siguiente manera:

Si $a=\sum_I a_I x^I$ es una suma formal, entonces defina el grado de $x_n$ en $a$ denotado $[a]_n$ ser $$ \sup \{ k : \text{there exists $ I $ with $ a_I\ne 0 $ and $ i_n=k $}\}, $$ donde el sup se toma en $\Bbb{N}\cup \{\infty\}$ .

Entonces defina $$T=\{a\in S : [a]_n <\infty\text{ for all $ n $}.\}$$

Pero esto es demasiado estricto, excluye cosas como $$\sum_{n=0}^\infty x_1^nx_n.$$

Answer 3

Puedo responder a su pregunta. Llama a una combinación lineal de monomios $\prod_i x_i^{m_i}$ tal que $m_i\ge 0, \sum_i m_i=m$ un $m$ -forma. Entonces como un subring $$\varprojlim_{n \to \infty} k[x_1,...,x_n] = \lbrace f_1 + \cdots + f_m \mid m \ge 0,\;\; f_i\; i\text{-form}\rbrace \le k[[x_1,x_2,...]]$$

Para la prueba nótese que existen proyecciones canónicas $p_n: k[[x_1,x_2,...]] \to k[[x_1,...,x_n]]$ y la restricción a $S = \lbrace f_1 + \cdots + f_m \mid m \ge 0,\;\; f_i\; i\text{-form}\rbrace$ tiene imagen en $k[x_1,...,x_n]$ . Por lo tanto $p= \prod_n p_n: S \to \prod_n k[x_1,...,x_n]$ es una incrustación de anillos cuya imagen es exactamente $\varprojlim_{n \to \infty} k[x_1,...,x_n]$ .