Demostrar $X^2+Y^2-1$ es irreductible, utilizando geométrica de las herramientas.

Question

Estoy tratando de comprender lo que el autor de este libro significa, en este párrafo:

Él quiere demostrar que el polinomio $X^2+Y^2-1$ es irreductible, utilizando geométrica de las herramientas. Tengo las siguientes dudas:

1. Lo que él se refiere , Ya que cada línea tiene al menos tres puntos ?

2. ¿Por qué el hecho de que $X^2+Y^2-1=F(X,Y)\cdot G(X,Y)$, donde F, G son líneas que implica que el círculo de $X^2+Y^2-1=0$ se compone de dos líneas?

Yo estaría muy agradecido si alguien me pudiera ayudar.

Muchas gracias.

Answer 1

1. Una línea en $k^2$ tiene la forma $aX+bY+c=0$ donde $a$ $b$ no puede ser cero. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a\ne 0$, por lo que tenemos $X=-a^{-1}bY-a^{-1}c$. De ello se deduce que para cualquier $\alpha\in k$, el punto de $$(-a^{-1}b\alpha-a^{-1}c,\alpha)$$ se encuentra en la línea. De ello se deduce que el número de puntos sobre la línea está en bijective correspondencia con el campo de $k$. Para el fin de una línea que tiene al menos tres puntos, debemos suponer que $k$ no es el campo de $2$ elementos, que no es muy estricta de la asunción.
2. Si $X^2+Y^2-1=F(X,Y)\cdot G(X,Y)=0$, entonces la notificación por la propiedad del producto cero que cualquier punto en el círculo debe satisfacer al menos uno de los lineales, polinomios $F(X,Y)$$G(X,Y)$. También es cierto que cualquier punto de la satisfacción de los polinomios $F$ $G$ va estar en el círculo. De ello se desprende que el círculo debe ser la unión de dos líneas (una contradicción).

Answer 2

La "prueba" es un absoluto sinsentido:

Si se sustituye la palabra "círculo" por "degenerados cónica" (= unión de dos líneas, no necesariamente distintos) el "argumento" sigue siendo válido, lo que demuestra que es falso, ya que cónicas degeneradas ¿ existe!
Y en realidad el círculo es reducible a través de una algebraicamente cerrado campo de la característica $2$, y un campo es necesariamente infinita, de modo que las líneas tienen una infinidad de puntos.
Esto confirma que la supuesta prueba no es prueba de todo.

El error es la frase "una línea y un círculo que tiene en más de dos puntos en común": esto es falso, si el círculo contiene una línea y ya que lo que queremos demostrar es que el círculo no contiene ninguna línea, no podemos asumir que en la prueba: el argumento es circular (juego de palabras!)

Answer 3

Si el campo $k$ es el campo finito de 2 elementos, a continuación, este argumento no puede trabajar - hay líneas en $\mathbb{F}_2[x,y]$ cuyo locus incluye sólo dos puntos, por ejemplo,$x+y=1$, y, de hecho,$x^2 + y^2 - 1 = (x+y+1)^2$$\mathbb{F}_2$. Así, supongamos $\text{char } k$ es de al menos 3.

En ese caso, una línea de la forma $ax+by = c$ tiene al menos 3 soluciones de $(x_0,y_0)$. Desde nuestro campo de $k$ tiene al menos 3 elementos diferentes, podemos sustituir cada una de ellas, por x o y (a o b puede ser 0) y resolver para la variable restante. Esto nos da tres soluciones de la ecuación de $ax+by=c$.

Si $x^2 + y^2 - 1 = F(x,y) \cdot G(x,y)$, entonces cualquier solución de $(x_0,y_0)$ a de la ecuación de $x^2 + y^2 - 1 = 0$ debe también satisfacer $F(x,y) = 0$ o $G(x,y) = 0$. Esto significa que el círculo de $x^2 + y^2 - 1 = 0$ es en realidad una unión de dos líneas.