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La prueba de que una cierta derivación está bien definido

He pasado varias horas en el este, aparentemente sencillo problema. Esto es con referencia a la página 17 en las siguientes notas

http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/615.pdf

Supongamos, $R$ es un anillo conmutativo, $W$ un multiplicatively subconjunto cerrado en $R$, $M$ una $R$-módulo. Si $D:R\to M$ es una derivación, a continuación, $W^{-1}D: W^{-1}R\to W^{-1}M$ es una derivación donde $W^{-1}D$ actúa en $\frac{r}{w}$ por el cociente de la regla, es decir, mapas $\frac{r}{w}$$\frac{wD(r)-rD(w)}{w^2}$.

He intentado varias manipulaciones, pero soy incapaz de demostrar que este mapa está bien definido. Agradecería si alguien me puede ayudar a ver lo que me estoy perdiendo aquí.

Gracias.

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dazweeja Puntos 21

Primero observar que si algunos de $s$ mata a $r$, es decir,$sr=0$, $s^2$ mata a $Dr$. De hecho, $$s^2Dr=s(sDr)=s(D(sr)-rDs)=-srDs=0.$$

Ahora supongamos $r/w=r'/w'$, $s\in W$ mata a $rw'-r'w$. Yo reclamo que $s^2$ mata a $$w'^2(rDw-wDr)-w^2(r'Dw'-w'Dr').$$ Tenemos algunos de cálculo:$$w'^2(rDw-wDr)-w^2(r'Dw'-w'Dr')$$ $$=w'^2rDw-w'^2wDr-w^2r'Dw'+w^2w'Dr'$$ $$=w'rD(ww')-ww'D(rw')-wr'D(ww')+ww'D(wr')$$ $$=(rw'-r'w)D(ww')-ww'D(rw'-r'w).$$ Desde $s^2$ mata $rw'-r'w$$D(rw'-r'w)$, hemos terminado.

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codemac Puntos 689

[Nueva versión. Yo no había notado el hecho de que la derivación fue módulo de valor. Lo siento. (31 de julio de 2011, GMT)]

Deje $D:R\to M$ ser una derivación e $W\subset R$ un sistema multiplicativo. Reclamo: no hay una única derivación $W^{-1}D:W^{-1}R\to W^{-1}M$ satisfactorio $$(W^{-1}D)\left(\frac{a}{s}\right)=\frac{sD(a)-aD(s)}{s^2}$$ for all $un$ in $R$ and $s$ in $W$.

La unicidad es clara. Vamos a probar la existencia.

Recordemos que la relación $\sim$ definido en $R\times W$ $(a,s)\sim(b,t)$ fib $atu=bsu$ algunos $u$ $W$ es una relación de equivalencia, y que $W^{-1}R$ se define como el cociente.

Definir la relación $\heartsuit$ $R\times W$ $(a,s)\heartsuit(b,t)$ fib $b=au$ $t=su$ algunos $u$$W$. A continuación, $\sim$ es la relación de equivalencia generada por $\heartsuit$.

Definir $d:R\times W\to W^{-1}M$ por $$d(a,s)=\frac{sD(a)-aD(s)}{s^2}\quad.$$ One checks that $(a,s)\heartsuit(b,t)$ implies $(W^{-1}D)(a,s)=(W^{-1}D)(b,t)$. Thus $d$ induces a map $W^{-1}D:W^{-1}R\W^{-1}M$, que se ve fácilmente a ser una derivación.

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David HAust Puntos 2696

$\rm\displaystyle\ \frac{r}w \equiv 0\:\ \Rightarrow\:\ s\:r = 0\ \Rightarrow\ s^2 \bigg(\!\!\!\frac{r}w\!\!\bigg)' =\ \frac{s\ ((s\:r)'-s'r)}{w}\: -\:\frac{s^2\:r\:w'}{w^2} =\: 0\:\ \Rightarrow\:\ \bigg(\!\!\!\frac{r}w\!\!\bigg)'\!\equiv\: 0$

Nota $\ $ Esta prueba esencialmente inline el lema que $\rm\:(sr/(sw))' = (r/w)'.$ Usted puede encontrar que es más conceptual, para proceder indirectamente con ese lema (que es como yo la prueba directa).

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