Supongamos que $T$ es un operador lineal en un $\mathbb{C}$ -espacio vectorial $V$ . Además, supongamos que $T^n$ es el operador de identidad, para algún $n$ . Entonces, $T$ es diagonalizable.
Creo que hay una prueba usando la teoría de Jordan, pero deseo encontrar una sin usarla.
$$T^n=I\implies (T-I)(T^{n-1}+\ldots+T+I)=0\implies $$
el polinomio mínimo de $\;T\;$ divide $\;T^n-I\;$ , todas ellas con raíces diferentes (¿por qué?). Dado que estás trabajando en un campo algebraico cerrado, esto significa que todas las raíces de ese polinomio mínimo están en el campo y, por tanto, los factores del polinomio mínimo en diferentes factores lineales $\;\iff T\;$ es diagonalizable.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
¿considerarías el teorema fundamental de los módulos finitamente generados sobre un EPI como "teoría de Jordan"? (probablemente debería ya que se puede recuperar la forma de Jordan a partir de ella fácilmente)
1 votos
Una extensión fácil de esta afirmación es "En un espacio vectorial complejo, si una potencia de $T$ es diagonalizable, entonces también lo es $T$ ."
0 votos
Debo modificar mi afirmación anterior. También necesita este poder de $T$ para no ser el operador cero.
1 votos
@ChristopherA.Wong Creo que esto no es suficiente. Se necesita este poder de $T$ para tener un núcleo trivial, no sólo $T^n \neq 0$ .
0 votos
Probablemente tengas razón.