Comportamiento asintótico de $\Gamma^{-1}(x)$

Question

De verdad $x,$ es bien sabido que $$\Gamma^{-1}(x)\sim\frac{\log x}{\log\log x}$$

Por lo tanto, una pregunta natural es la de limitar $$G(x)=\Gamma^{-1}(x)\frac{\log\log x}{\log x}$$ que por supuesto es 1 + o(1). Curiosamente, su valor está cerca de 2 (es decir, lejos de su valor asintótico) para muchos valores útiles de x: por ejemplo, $1.8<G(x)<2.1$ para $14<x<10^{77}.$

Parece que $G$ tiene un máximo cerca de 3637,133905003816072848664328 de 2,011194506706919822787997170113557148977275... y para disminuir muy lentamente después.

Pregunta 1 : ¿Es lo anterior el máximo único?

Pregunta 2 : ¿Existe una $x>5$ tal que $G(x)<1$ ?

Pregunta 3 : ¿Hay algún factor útil o término secundario que haga esta aproximación más precisa para valores útiles de x? Estoy siendo intencionadamente vago en este punto; si supiera exactamente lo que estoy buscando, probablemente no necesitaría preguntar :) Por ejemplo, si hubiera hecho una pregunta análoga sobre la función de recuento de primos, hablarme de Li sería mejor que simplemente dar el siguiente término asintótico $cx/\log^k x.$

Answer 1

Obtuve una mejor aproximación jugando con la fórmula de Stirling de Abramowitz y Stegun, sólo usando el primer término $$ \log \Gamma(z) \sim z \log z, $$ toma $t = \Gamma(z)$ y la aproximación $$ z_1 = \frac{L_1}{L_2} + \frac{L_1 L_3}{L_2^2}, $$ donde $L_1 = \log t, \; \; L_2 = \log \log t, \; \; L_3 = \log \log \log t.$ Me sale $$ z_1 \log z_1 = \log t - \frac{L_1 L_3^2}{L_2^2} + \frac{L_1 L_3}{L_2^2} + smaller $$ lo que supone una mejora en su resultado folclórico, ya que los términos no deseados son realmente más pequeños que el siguiente término $z$ en el más completo $$ \log \Gamma(z) \sim z \log z - z - \frac{1}{2} \log z + \frac{1}{2} \log {2 \pi} + \log \left(1 + \frac{1}{12 z} + \frac{1}{288 z^2}- \cdots \right) $$ Deberías poder hacer algo con esto para tu pregunta original.

En particular, dice que su $$ G(t) \sim 1 + \frac{\log \log \log t}{\log \log t}, $$ significa que el cambio es tan lento que el límite es invisible para un ordenador, sus límites experimentales bien pueden ser correctos pero la certeza será difícil de conseguir.