Demuestra que
$$ \lim \limits_ {n \to \infty } n^2 \int_ {0}^{ \frac {1}{n}} x^{x+1} dx = \dfrac {1}{2} $$
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Patrick
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Mi técnica favorita, empezar con la expansión de Taylor de $x^{x+1}$ alrededor de $x=0$ . Sólo llevo los dos primeros términos porque hacer esto a mano puede ser muy tedioso. Y los pasos pueden ser rigurosamente justificados.
\begin {eqnarray*} x^{x+1}&=&x+ \ln (x) x^2+ \cdots \\ \int_0 ^{1/n} x^{x+1} dx&=& \frac {1}{2n^2}- \frac {1+3 \ln (n)}{9n^3}+ \cdots\\ n^2 \int_0 ^{1/n} x^{x+1}dx&=& \frac {1}{2}- \frac {1+3 \ln (n)}{9n}+ \cdots\\ \lim_ {n \rightarrow \infty }n^2 \int_0 ^{1/n} x^{x+1}dx&=& \frac {1}{2}. \end {eqnarray*}
Escalar la integral: sustituir $u = n x$ y conseguir
$$ \begin {align}n^2 \int_0 ^{1/n} dx \: x^{x+1} &= \int_0 ^1 du \: u \, \left ( \frac {u}{n} \right )^{u/n} \\ &= \int_0 ^1 du \: u \, e^{(u/n) \log {(u/n)}} \\ \end {align}$$
Como $n \rightarrow \infty $ el exponencial $ \rightarrow 1$ porque $u$ está limitada. Por lo tanto, el límite es
$$ \int_0 ^1 du \, u = \frac {1}{2}$$
Llevar el límite a la integral está justificado siempre y cuando la secuencia
$$e^{(u/n) \log {(u/n)}}$$
converge uniformemente en $1$ sobre $u \in [0,1]$ En otras palabras, siempre y cuando $(u/n) \log {(u/n)}$ converge en $0$ uniformemente en este intervalo. Es decir, el supremo de $(u/n) \log {(u/n)}$ sobre $u \in [0,1]$ converge en $0$ como $n \rightarrow \infty $ . Esto es cierto debido al hecho de que $u$ está en un intervalo limitado.
Lei Lei
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Intenta el cambio de variable $t = x^2$ . Entonces tenemos
$ \displaystyle\lim_ {n \to \infty } n^2 \displaystyle\int_0 ^{ \frac {1}{n}} x^{x+1} dx$ = $ \frac {1}{2} \displaystyle\lim_ {n \to \infty } \frac { \displaystyle\int_0 ^{ \frac {1}{n^2}} \sqrt {y}^{ \sqrt {y}} dy}{ \frac {1}{n^2}}$
Note que el cociente es de la forma $ \displaystyle\lim_ {b \to a} \displaystyle\frac { \int_a ^b f(x) dx}{b - a}$ y sospecho que es $f(a) = 1$ .
