Deje $\omega:\mathbb{Z}\to (0,\infty)$ y deje $1\leq p<\infty$. Considerar el espacio $\ell^p(\mathbb{Z},\omega)$ de las complejas secuencias de valores de $f=(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ tal que $$\|f\|=\|f\|_{\ell^p(\mathbb{Z},\omega)}:=\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}|a_n|^p\omega(n)^p\right)^{1/p}<\infty.$$
Siguiente, dadas dos secuencias complejas $f=(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ $g=(b_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ su formal de la convolución es definido por $f*g=(c_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ donde $c_n=\sum_{k\in\mathbb{Z}}a_kb_{n-k}$.
El problema es encontrar condiciones necesarias y suficientes en $\omega$ tal que $\ell^p(\mathbb{Z},\omega)$ es un álgebra de Banach. En otras palabras, si $f,g\in\ell^p(\mathbb{Z},\omega)$$f*g\in \ell^p(\mathbb{Z},\omega)$$\|f*g\|\leq\|f\|\cdot\|g\|$.
Para $p=1$ la condición es $\omega(n+k)\leq\omega(n)\omega(k)$.
--- Reformulado el problema, por lo que el $f\in\ell^p(\omega)$ es lo mismo que $f\omega\in\ell^p$.
Creo que este es un problema abierto, sin embargo, hay condiciones suficientes: $\omega^{-p'}*\omega^{-p'}\leq \omega^{-p'}$ donde $1/p̈́'+1/p=1$ (la historia de la enfermedad es difícil de decir, pero es dado como Lema 8.11 en Acta Mathematica Volumen 174, Número 1, 1-84, "la Integridad de la traduce en ponderado de los espacios en la mitad de la línea" por Alexander Borichev y Håkan Hedenmalm). La prueba se basa en Hölder de la desigualdad: $$\|f*g\|^p =\sum_n \left|\sum_k a_kb_{n-k}\right|^p\omega(n)^p\leq $$ $$\leq\sum_n \left(\sum_k |a_k|^p|b_{n-k}|^p\omega(n-k)^p\omega(k)^p\right)\left(\sum_k\frac{1}{\omega(n-k)^{p'}\omega(k)^{p'}}\right)^{\frac{p}{p'}}\omega(n)^p\leq $$ $$\qquad\leq\|f\|^p\|g\|^p$$
