El espacio Dual de un espacio de todos los lisas función

Question

En el espacio de $C^\infty(S^1,\mathbb R)$, para cada una de las $n\in \mathbb N$, definir $$p_N(\gamma)= \max\{|f^{(k)}(t): t\in S^1, k\leq N\}$$

Topología de todas las normas por encima de definir un metrizable localmente convexo topología (de hecho Frechet espacio) en este espacio [Rudin análisis Funcional página 35].

Cómo calcular el espacio dual a este espacio,

Para la doble espacio, me refiero conjunto de todos lineal continua y funcional en $C^\infty(S^1, M)$ con las normas de $$p'_M(f)= \sup_{\gamma\in M\subset C^\infty(S^1,\mathbb R)}|f(\gamma)|$$ and $M$ runs through all bounded subsets of $L$.

Mi experiencia y la de otros: no tengo suficiente práctica y de conocimiento de análisis funcional supuesto.. por lo tanto, voy a ser feliz si puedo obtener la lectura de referencia para este para que yo pueda calcular el doble de mí mismo.

¿Cuáles son los libros/el nombre del tema que debo leer para que se sienta cómodo en el cálculo de estas preguntas de tipo

Answer 1

Para un espacio compacto, este es el espacio de todas las distribuciones, que tiene la topología de pointwise convergencia. Para comprobar que algo es un continuo funcional, se puede comprobar la continuidad con respecto a la seminorms en $C^{\infty}(M)$ por separado (esta construcción puede ser generalizada para suavizar las secciones de vector de paquetes si usted tiene conexiones).

La segunda norma que escribes da la fuerte topología o la topología de la convergencia uniforme sobre los subconjuntos acotados. En general, no son el mismo, a pesar de que coinciden por los espacios de Banach. Al $M$ no es compacto, la topología en $C_c(M)$ es más complicado (por ejemplo, véase Richard Melrose notas sobre el Análisis Diferencial p 40). Una buena referencia es Michael E. Taylor Ecuaciones Diferenciales Parciales, Vol I, apéndice a, el cual tiene un excelente condensada cuenta de la funcional de las herramientas analíticas que se utilizan normalmente.