Caracteres de las potencias simétricas y antisimétricas

Question

Dejemos que $V$ sea una representación con carácter $\chi$ . Me gustaría tener una fórmula para los caracteres de las representaciones $\mathrm{Sym}^m[V]$ y $\wedge ^m[V]$ en términos de $\chi$ . Fulton y Harris presentan una fórmula de este tipo para $m=2$ pero no para el general $m$ . ¿Existe una expresión "bonita" de este tipo?

Encontré un artículo de Zhou y Pulay pero esto no parece ser lo que estoy buscando (no parece dar una fórmula general en términos de $\chi$ ).

En caso de que el enlace no funcione, aquí está la referencia:

X. Zhou, P. Pulay. Caracteres para las potencias superiores simétricas y antisimétricas de las representaciones: Aplicación al número de constantes de fuerza anarmónica en moléculas simétricas . Journal of Computational Chemistry, Vol 10, Issue 7, (1989).

Answer 1

Para un pequeño $m$ Es un buen ejercicio y le recomiendo que lo haga usted mismo. No conozco una fórmula para el $m$ .

Paso 1: demostrar que si $v_1,\ldots,v_n$ es una base para $V$ (que bien podría considerarse que consiste en vectores propios bajo $g\in G$ ), entonces $$ \left\{\sum_{\sigma\in S_m}v_{k_{\sigma(1)}}\otimes\cdots\otimes v_{k_{\sigma(m)}}: 1\leq k_1\leq k_2\leq\ldots\leq k_m\leq n\right\} $$ es una base para $\text{Sym}^mV$ , mientras que $$ \left\{\sum_{\sigma\in S_m}\text{sign}(\sigma)v_{k_{\sigma(1)}}\otimes\cdots\otimes v_{k_{\sigma(m)}}: 1\leq k_1< k_2<\ldots< k_m\leq n\right\} $$ es una base para $\Lambda^mV$ . Hay que demostrar la independencia lineal y el spanning (esto último es muy fácil).

Paso 2: Suponiendo que haya tomado el $v_i$ sean todos vectores propios bajo $g\in G$ , demuestre que cada uno de los vectores base anteriores es de nuevo un $g$ -y determinar el valor propio (¡triunfante!). Esto le dará los caracteres de $\text{Sym}^mV$ y $\Lambda^mV$ no del todo en términos de $\chi$ pero en términos de los valores propios de $g$ en $V$ .

Dada esta expresión, ahora se puede expresar el carácter de cualquier $\text{Sym}^mV$ o $\Lambda^mV$ en términos de $\chi$ . Por ejemplo, simplemente multiplicando, se puede demostrar que $$ \chi_{\text{Sym}^3V}(g) = \frac{\chi(g)^3 + 3\chi(g^2)\chi(g) + 2\chi(g^3)}{6} $$ y $$ \chi_{\Lambda^3V}(g) = \frac{\chi(g)^3 - 3\chi(g^2)\chi(g) + 2\chi(g^3)}{6}. $$

Para una aproximación mediante funciones generadoras, véase también la pregunta 5 de este hoja de ejercicios .

Answer 2

Acabo de tener el mismo problema, menos los problemas de permisos. Tenía una característica seleccionada dentro de la clase de característica que estaba tratando de exportar y esa era la razón de mi error. Una vez que borré la selección, la exportación a shapefile funcionó.