En la esfera $S^2$, el camino más corto entre dos puntos es el camino del gran círculo. ¿Qué pasa con $H^2$, el hipérboloide $x^2+y^2-z^2=-1, z\ge 1$, con la distancia euclidiana? ¿Existe una fórmula para el camino más corto entre dos puntos en la superficie? ¿Y cuál es la longitud del camino más corto?
Ten en cuenta que no es la distancia hiperbólica; es la distancia euclidiana.
La métrica euclidiana en $\mathbb{R}^3$ induce una métrica en un hiperboloide, y la ruta más corta será la más corta con respecto a esta distancia. Las coordenadas estándar en un hiperboloide $z^2 - x^2 - y^2 = 1$ serían $$ x = \sinh(t) \sin \phi \qquad y = \sinh(t) \cos \phi \qquad z = \cosh(t) $$ con el intervalo: $$ \mathrm{d}s^2 = \cosh(2 t) \mathrm{d} t^2 + \sinh^2(t) \mathrm{d} \phi^2 $$ Eso significa que los símbolos de Christoffel no nulos son $$ \Gamma^t_{tt}=\tanh(2t) \qquad \Gamma^t_{tt}=-\frac{1}{2}\tanh(2t) \qquad \Gamma^\phi_{t\phi} = \Gamma^\phi_{\phi t} = \frac{1}{\tanh(t)} $$ Las ecuaciones geodésicas se obtienen fácilmente: $$ t^{\prime\prime}(s) + \tanh(2 t(s)) \left( (t^\prime(s))^2 - \frac{1}{2} (\phi^\prime(s))^2 \right) = 0 \qquad \phi^{\prime\prime}(s) + \frac{2}{\tanh(t(s))} t^\prime(s) \phi^\prime(s) = 0 $$ No es difícil ver que la última ecuación admite una integral de movimiento, es decir, $\phi^\prime(s) \sinh^2(t(s)) = \mathcal{L}$, porque $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \left( \phi^\prime(s) \sinh^2(t(s)) \right) = \sinh^2(t(s)) \left( \phi^{\prime\prime}(s) + \frac{2}{\tanh(t(s))} t^\prime(s) \phi^\prime(s) \right) \left. = \right|_{\text{ec. de movimiento}} = 0 $$
Lamentablemente, esto no nos acerca más a la interpretación geométrica de la geodésica. ¿Es una intersección del hiperboloide con un plano que contiene dos puntos? Lo sospecho, pero no veo cómo demostrarlo.
Probablemente la integral de movimiento es justo lo que se sugiere por la simetría rotacional, es decir, la ecuación de Clairaut para geodésicas en una superficie de revolución, especializada en un hiperboloide. No creo que la geodésica en una superficie cuádrica esté contenida en un plano, al menos para una elipsoide integrando el flujo geodésico fue un problema ilustre resuelto por primera vez por Jacobi usando integrales elípticas.
Para confirmar el comentario de zyx sobre secciones planas: si la métrica ambiental es lorentziana en lugar de euclidiana, la métrica inducida es hiperbólica (y homogénea bajo el grupo de isometría ambiental), por lo que los geodésicas son secciones planas. Las métricas respectivas (hiperbólica e hiperboloide) son $$ds^2 = dt^2 + \sinh^2 t\, d\phi^2,\qquad ds^2 = \cosh(2t)\, dt^2 + \sinh^2 t\, d\phi^2.$$Expresando $t$ como una función de $\phi$ a lo largo de una geodésica, las geodésicas hiperboloide "crecen más lentamente que" las geodésicas hiperbólicas (por una fórmula estándar para parches de Clairaut), y por lo tanto no son secciones planas.
La ruta más corta entre los puntos $p$ y $q$ en la hoja superior donde $z>0$ en el hiperboloide $\{x^2+y^2-z^2=-1\}$ es la curva donde el hiperboloide interseca el plano que contiene el origen y los puntos $p$ y $q.
(En cuanto a cómo calcular la distancia euclidiana, los otros mensajes parecen conocer mejor la geometría diferencial que yo. Si quisieras la distancia hiperbólica, por otro lado, inducida por la forma cuadrática utilizada para definir el hiperboloide, hay una forma más sencilla. Pero esa no era tu pregunta y es más fácil buscarla.)
Puedes mirar A. Pressley, Geometría Diferencial, problema de texto 8.1, donde calcula las geodésicas para el hiperboloide de una hoja \begin{equation} x^2+y^2-z^2=1 \end{equation} y encuentra que en realidad son cuatro, dos líneas rectas, un círculo y una hipérbola. Pero mantiene las cosas muy simples y las encuentra solo usando algunas definiciones básicas.
Si usas coordenadas cilíndricas $(r,\theta, z)$ ya que la relación $(r,z)$ es conocida, solo hace falta encontrar la relación $(r,\theta)$.
La Ley de Clairaut es especialmente adecuada para encontrar geodésicas en superficies de revolución.
El procedimiento se puede usar para encontrar geodésicas en cualquier superficie de revolución cuando la meridiana está dada.
Elige una de las dos láminas convexas del hipérboloide dado.
$ z^2 - r^2 = 1 $
Diferencia con respecto a r; $ z = r* \tan(\phi). $ (1*)
Elige la constante de Clairaut $ a = r \sin(\psi). $ (2*)
$(r=a)$ es donde todas las líneas son tangentes al radio mínimo.
Desde la geometría diferencial, $ dr/ \sin(\phi) = r d\theta * \cot(\psi).$ (3*)
Las ecuaciones (1*) a (3*) son adecuadas para encontrar $ r=f(\theta) $, después de eliminar $z,\phi,\psi$ e integrar.
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¿Alguna vez has leído esto: en.wikipedia.org/wiki/Geodesic? Puede ser de interés para ti.
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Hay algunas ecuaciones diferenciales que necesitas resolver para obtener ecuaciones para la geodésica... nota que tienes una superficie de revolución, así que la tarea es algo más fácil. Ver las fórmulas 31-35 aquí.
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Incluso para un hiperboloide que no es axialmente simétrico, debería ser posible encontrar las geodésicas usando las coordenadas elipsoidales de Jacobi (que fueron inventadas para calcular las geodésicas en un elipsoide). Nunca he intentado revisar todos los detalles, sin embargo.