En la esfera de la $S^2$, el camino más corto entre dos puntos es el gran círculo en el camino. Cómo acerca de $H^2$, el hyperboloid $x^2+y^2-z^2=-1, z\ge 1$, con la distancia Euclidiana? Existe una formula para la ruta más corta entre dos puntos sobre la superficie? Y ¿cuál es la longitud de la ruta más corta?
Se nota que no es la distancia hiperbólica; es la distancia Euclidiana.
La métrica Euclidiana en $\mathbb{R}^3$ induce una métrica en un hyperboloid, y el camino más corto será menor con respecto a esta distancia. Estándar de coordenadas en un hyperboloid $z^2 - x^2 - y^2 = 1$ sería $$ x = \sinh(t) \sin \phi \qquad y = \sinh(t) \cos \phi \qquad z = \cosh(t) $$ con el intervalo: $$ \mathrm{d}^2 = \cosh(2 t) \mathrm{d} t^2 + \sinh^2(t) \mathrm{d} \phi^2 $$ Eso significa que no-cero de símbolos de Christoffel son $$ \Gamma^t_{tt}=\tanh(2t) \qquad \Gamma^t_{tt}=-\frac{1}{2}\tanh(2t) \qquad \Gamma^\phi_{t\phi} = \Gamma^\phi_{\phi t} = \frac{1}{\tanh(t)} $$ Geodésica ecuaciones son fácilmente obtenidos: $$ t^{\prime\prime}(s) + \tanh(2 t(s)) \left( (t^\prime(s))^2 - \frac{1}{2} (\phi^\prime(s))^2 \right) = 0 \qquad \phi^{\prime\prime}(s) + \frac{2}{\tanh(t(s))} t^\prime(s) \phi^\prime(s) = 0 $$ No es difícil de ver, que la última ecuación admite una integral de movimiento, es decir,$\phi^\prime(s) \sinh^2(t(s)) = \mathcal{L}$, debido a que $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \left( \phi^\prime(s) \sinh^2(t(s)) \right) = \sinh^2(t(s)) \left( \phi^{\prime\prime}(s) + \frac{2}{\tanh(t(s))} t^\prime(s) \phi^\prime(s) \right) \a la izquierda. = \right|_{\text{eq. de movimiento}} = 0 $$
Lamentablemente esto no nos acerca más a la interpretación geométrica de la línea geodésica. Es un interesection de la hyperboloid con un plano que contiene dos puntos ? Sospecho que es así, pero no veo cómo demostrarlo.
La ruta más corta entre los puntos de $p$ $q$ sobre la parte superior de la hoja donde $z>0$ sobre el hyperboloid $\{x^2+y^2-z^2=-1\}$ es la curva donde el hyperboloid se cruza con el plano que contiene el origen y los puntos de $p$$q$.
(En cuanto a cómo calcular la distancia Euclidiana, los otros carteles parecen conocer su geometría diferencial mejor que yo. Si quería que la hiperbólica de distancia en el otro lado, inducida por la forma cuadrática se utiliza en la definición de la hyperboloid, hay una manera más sencilla. Pero ese no fue su pregunta y es más fácil mirar hacia arriba).
Es posible que desee buscar en A. Pressley, la Geometría Diferencial, el texto del problema 8.1, se calcula el geodesics para la hyperboloid de una hoja \begin{equation} x^2+y^2-z^2=1 \end{equation} y descubre que en realidad son cuatro, dos líneas rectas, un círculo y una hipérbola. Pero él mantiene las cosas de forma muy simple y se encuentra solo usando una definición básica.
Si utiliza las coordenadas cilíndricas $(r,\theta, z) $ desde $(r,z)$ relación es conocida, sólo $ (r,\theta)$ relación necesita ser descubierto.
El Clairaut de la Ley, es especialmente adecuada para encontrar geodesics en las superficies de revolución.
El procedimiento puede ser usado para encontrar geodesics en cualquier superficie de la revolución, cuando
meridian es dado.
Elige uno de los dos convexa de las hojas de la hyperboloid dado.
$ z^2 - r^2 = 1 $
Diferenciar con respecto a r; $ z = r* tan(\phi). $ (1*)
Elegir Clairaut constante de $ a = r sin(\psi). $ (2*)
$(r=a)$ es donde todas las líneas son tangentes en el radio mínimo.
A partir de la geometría diferencial, $ dr/ sin(\phi) = r d\theta *cot(\psi).$ (3*)
Equns (1*) (3*) son adecuados para encontrar $ r=f(\theta) $, después de la eliminación de $z,\phi,\psi$ e integrar.
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