Solucionable, los grupos y las órdenes de los elementos de

Question

Estoy tratando de demostrar el siguiente resultado.

Deje $G$ ser un grupo que contiene a los elementos de $x$ $y$ tal de que las órdenes de $x$, $y$, y $xy$ son parejas relativamente primos; demostrar que $G$ no es solucionable.

Si $G$ es solucionable, tiene una abelian y normal subgrupo $H$. Si $x,y\in H$,$o(xy)=o(x)o(y)$, una contradicción. ¿Cómo debo llegar a una contradicción, si bien uno de $x$ $y$ no $H$?

También observo que $\langle x\rangle\langle y\rangle$ no es un grupo, pero no sé cómo sacar provecho de eso.

Answer 1

Usted puede hacer la inducción en la derivada de la longitud de $G$. Deje $n$ ser mínima, de tal forma que hay contraejemplo $G$ que es solucionable de derivados de la longitud de $n$. A continuación, hay un abelian normal subgrupo $N$ $G$ de manera tal que la derivada de la longitud de $G/N$ es de menos de $n$, y por lo que el resultado es cierto en $G/N$.

Usted necesita considerar los casos al $0,1,2$ o $3$ elementos de la elementos de la $x,y,xy$ $N$ por separado (pero $2$ no puede ocurrir, y $1$ es incompatible con la hipótesis).