La aproximación Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) de la integral de colisión

Question

Bhatnagar, Gross y Krook (BGK) propusieron un término de relajación para la integral de colisión $ Q$ como sigue $$J = \frac{1}{\tau} (f^{eq} - f)$$ donde $f^{eq}$ es la distribución en el equilibrio. $Q$ tiene la siguiente propiedad: $$\int Q \psi_k d\mathbf{v} = 0$$ donde $\psi_0 = 1,\hspace{.5cm} (\psi_1, \psi_2,\psi_3) = \mathbf{v}, \hspace{.5cm} \psi_4 = \mathbf{v}^2 $

Ahora decimos que este término debe tener las siguientes restricciones:

a) It should have a tendency towards Maxwellian distribution

¿Qué significa esta expresión? Entiendo que f debe estar cerca de la distribución de Maxwell en todo momento. Si no es así, ¿cuál es la interpretación correcta de esta restricción?

b) J Should conserve collision invariants of Q

es decir $\int J \psi_k d\mathbf{v}d\mathbf{x} = 0 $ donde $\psi_k$ es una de las invariantes de colisión.

Obsérvese que ahora la integral se realiza sobre la velocidad y el espacio espacial en lugar de sólo sobre la velocidad como en el caso de $Q$ . $\int J \psi_k d\mathbf{v} = 0 \implies \int J \psi_k d\mathbf{v}d\mathbf{x} = 0$ pero $\int J \psi_k d\mathbf{v}d\mathbf{x} = 0 \not \implies \int J \psi_k d\mathbf{v} = 0$ . Entonces, ¿por qué no ponemos la condición en J como $\int J \psi_k d\mathbf{v} = 0$ ? Al añadir espacio extra en la integral, ¿ponemos menos restricciones a J?

si sustituyo la primera expresión de J en la restricción b) anterior, entonces implica $\int f \psi_k d\mathbf{v}d\mathbf{x}$ ¡= 0 pero esto implica que f debería ser ya Maxwelliana para que esta relación sea cierta! ¿Qué me falta aquí?

Answer 1

Estoy usando una segunda respuesta para responder a tu pregunta recién añadida. Has cometido un pequeño error, la fórmula de la celda debería ser la siguiente:

$$\phi_{cell} = \underset{1\leqslant i, j\leqslant n^{k}}{\wedge }\left [ \left ( \underset {s\epsilon C}{\vee} x_{i,j,s} \right ) \wedge \left (\underset{\underset{s\neq t}{s,t\epsilon C}}{\wedge} \left ( \overline{x_{i,j,s}} \vee \overline{x_{i,j,t}} \right ) \right ) \right ]$$

Como ha dicho, la variable $x_{i,j,s}$ representa el símbolo s en la celda[i,j], por lo que debe ser verdadera si y sólo si la celda[i,j] contiene el símbolo $s$ . Analicemos bien la fórmula de la celda. Existe de 3 partes:

• $\Large\underset {s\epsilon C}{\vee} x_{i,j,s}$ dice que para cada fijo $i$ y $j$ debería haber al menos un símbolo $s$ en la celda[i,j].
• $\large\underset{\underset{s\neq t}{s,t\epsilon C}}{\wedge} \left ( \overline{x_{i,j,s}} \vee \overline{x_{i,j,t}} \right )$ dice que, para cada par de símbolos distintos $s$ y $t$ : $\large x_{i,j,s}$ y $\large x_{i,j,t}$ no pueden ser verdades al mismo tiempo. Esto representa que una celda no puede tener más de un símbolo.

La combinación de ambos puntos nos dice que para cada fijo $i$ y $j$ tiene que haber exactamente un símbolo $s$ ( NO MÁS Y NO MENOS) para que la variable $x_{i,j,s} = 1$ . De forma más intuitiva, nos dice que cada celda sólo puede contener exactamente un símbolo.

Ahora lo único que queda por analizar es el $\large\underset{1\leqslant i, j\leqslant n^{k}}{\wedge }$ parte que encapsula las partes que ya hemos analizado. Evidentemente, esta parte sólo nos dice que la fórmula tiene que ser válida para cada celda del cuadro.

Espero que esto haya ayudado.