Diferentes formas de construir el grupo libre sobre un conjunto.

Question

Esto podría ser demasiado amplio si no tenemos cuidado. Lo siento si acaba siendo así.

Hagamos una lista de diferentes construcciones de el grupo libre $F_X$ sobre un conjunto determinado $X$ .

Parece ser una de esas cosas que mucha gente conoce (y usar implícitamente ) pero cuyas construcciones pueden ser tan tediosas, que es difícil hacerse con ellas al principio. El principal problema, como nos recuerda Lee Mosher, parece ser la asociatividad.

La página de Wikipedia (a la que se ha hecho referencia anteriormente) enumera algunas perspectivas útiles. Me impresiona este resumen intuitivo de Wolfram:

Un grupo se denomina libre si no existe ninguna relación entre sus generadores de grupo que no sea la relación entre un elemento y su inverso exigida como una de las propiedades definitorias de un grupo.

Pero esto no es exactamente una construcción ni es estrictamente el grupo libre sobre un conjunto .

He aquí una breve lista de lo que tengo hasta ahora:

• Un enfoque alternativo para construir el grupo libre.

Se parte de la construcción "estándar" que utiliza cadenas finitas sobre $\mathcal{X}=X\cup X'$ luego pide una opinión sobre el cociente por alguna relación de equivalencia.

• ¿Puede construirse así un grupo libre sobre un conjunto (sin clases de equivalencia de palabras)?

El grupo libre se construye como el adjunto izquierdo de la composición de ciertos funtores olvidados. Éste es interesante porque pasa por la categoría InvMon de monoides con involuciones como objetos y homomorfismos preservadores de involuciones como morfismos.

Martin Brandenburg también da uno bastante conciso en los comentarios allí, así que le invito a que se explaye aquí :)

• Magnus et al. en " Teoría de grupos combinatorios: Presentación de grupos en términos de generadores y relaciones " logran definir presentaciones de grupo en primer lugar en su capítulo inicial.

• W. Ledermann en " Introducción a la teoría de grupos " en $\S V$ da una construcción muy estándar definiendo primero las palabras finitas sobre $X$ , luego lo que significa ser una palabra reducida, luego tomar $F_X$ como las palabras reducidas sobre $X$ bajo concatenación (reducida).

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La lista anterior no es en absoluto exhaustiva (de lo que yo conozco) y seguro que hay algún solapamiento. Personalmente, me interesaría ver el uso explícito de Álgebra universal , Teoría de los semigrupos y Teoría de la categoría . La razón de esta última debería estar clara en lo anterior; en cuanto a las dos primeras, véase

• A partir de la página 68 de " Un curso de Álgebra Universal " por Burris et al. y

• Capítulo 2 de " Nueve capítulos sobre el arte de los semigrupos " por A.J. Cain.

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No dude en dar más detalles sobre los que ya figuran aquí.

Answer 1

No es tan difícil construir el grupo libre mediante palabras reducidas. El truco consiste en demostrar la propiedad universal antes de demostrando la asociatividad. El argumento es estándar (por ejemplo, está en Dummit & Foote, Ch.6). ¿A quién se le ocurrió primero?

Comience con un conjunto de símbolos $S$ . Extender a un conjunto $S\amalg S^*$ de cartas con una involución $a\mapsto a^*$ que cambia los sumandos. A palabra reducida es una secuencia finita $x=(x_1,\dots,x_n)$ de letras tal que $x_j\neq x_{j+1}^*$ para todos $j$ . Definir una operación binaria $x\cdot y$ en el plató $F$ de palabras reducidas: $$ (x_1,\dots,x_m)\cdot (y_1,\dots,y_n) := (x_1,\dots, x_{m-k},y_{k+1},\dots,y_n), $$ donde $k$ es el único número entero tal que $x_{m-k}\neq y_{k+1}^*$ pero $x_{m-j}=y_{j+1}^*$ para $j<k$ (con las obvias modificaciones cuando $k=\min(m,n)$ , dando $(y_{m+1},\dots,y_n)$ o $(x_1,\dots,x_{m-n})$ o $()$ según el caso).

Lo siguiente es totalmente sencillo de demostrar:

• Cada función $\phi\colon S\to G$ a un grupo $G$ se extiende de forma única a una función $\Phi\colon F\to G$ tal que:

  1. $\Phi((s))=\phi(s)$ para cada símbolo $s\in S$ y

  2. $\Phi(x\cdot y)=\Phi(x)\Phi(y)$ para cualquier palabra reducida $x,y\in F$ .

Nota: 2. implica que $\Phi$ debe enviar la palabra vacía al elemento de identidad y que $\Phi((s^*))=\phi(s)^{-1}$ ya que $()=()\cdot ()=(s)\cdot (s^*)=(s^*)\cdot (s)$ en $F$ .

La construcción de $\Phi$ es simplemente: extender $\phi$ a $S\amalg S^*\to G$ por $\phi(s^*):=\phi(s)^{-1}$ y definir $\Phi(x):=\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)$ .

Ahora dejemos que $G=$ el grupo de permutación de $F$ . Para cada letra $a\in S\amalg S^*$ , dejemos que $\lambda_a\colon F\to F$ sea la función de multiplicación por la izquierda $$ \lambda_a(x) := (a)\cdot x. $$ Un cálculo directo utilizando la definición de la operación binaria muestra que las funciones $\lambda_a$ y $\lambda_{a^*}$ son inversos entre sí, por lo que $\lambda_a\in G$ . Sea $\phi\colon S\to G$ sea $\phi(s):=\lambda_s$ y que $\Phi\colon F\to G$ sea la única extensión multiplicativa como la anterior. A partir de la construcción de $\Phi$ calcular que la evaluación de la permutación $\Phi(x)\in G$ en la palabra vacía es exactamente $x$ Así que $\Phi$ es inyectiva . De esto se desprende que la operación sobre $F$ es asociativo, ya que la multiplicación en $G$ es asociativo; los demás axiomas de grupo para $F$ son evidentes.

Answer 2

Aunque se trata de una pregunta antigua, esta construcción surgió recientemente por referencia en otra pregunta de Shaun, y no parece estar incluida arriba, así que me imagino que puedo añadirla (habiendo comprobado antes con el OP).

He aquí una construcción categórica que utiliza productos; en realidad está relacionada con la construcción del functor adjunto, en el sentido de que sigue las ideas del Teorema General del Funtor Adjunto de Freyd. Se puede llevar a cabo con cualquier clase de álgebras que sea cerrada bajo productos y tenga una noción de "subobjeto generado". Así que funciona en la mayoría de las categorías "bonitas" de álgebras (en el sentido del Álgebra Universal): los grupos abelianos, $R$ -módulos, anillos conmutativos, anillos asociativos, etc.

Dejemos que $X$ sea un conjunto. A grupo libre en $X$ es un par $(F,u)$ , donde $F$ es un grupo, $u\colon X\to F$ es un mapa de conjuntos, y el par tiene un propiedad universal para cada grupo $G$ y todo mapa de conjuntos $v\colon X\to G$ existe un único homomorfismo de grupo $\phi\colon F\to G$ tal que $v = \phi\circ u$ .

La idea es la siguiente: considere todo pares $(G_v,v)$ donde $G_v$ es un grupo, y $v\colon X\to G_v$ es un mapa de conjuntos. Tomemos el producto $$P=\prod_{(G_v,v)} G_v,$$ de todos esos $G$ , indexados por los pares. Los mapas $v_G\colon X\to G$ inducen un mapa de conjuntos $u\colon X\to P$ . Sea $F$ sea el subgrupo de $P$ generado por $u(X)$ . Entonces $F$ y $u$ tendrá la propiedad deseada, porque dado cualquier grupo $G$ y el mapa de conjunto $v\colon X\to G$ obtenemos el morfismo correspondiente $F\to G$ simplemente tomando la restricción de la proyección $\pi_{(G_v,v)}\colon P\to G$ al subgrupo $F$ . Y porque $F$ es generado por $u(X)$ Esto proporcionará la singularidad. ¡Voilà! Como por arte de magia, obtenemos un grupo con la propiedad universal correcta.

Sin embargo, hay un problema técnico con la idea anterior: no podemos construir ese producto, porque la colección de todo pares $(G_v,v)$ es una clase propia, no un conjunto, y no podemos tomar un producto cartesiano indexado sobre una clase propia. Así que tenemos que reducir esta colección a algo manejable (es decir, a un conjunto).

La primera observación que podemos hacer es que si $f\colon G\to H$ es un isomorfismo, y $v\colon X\to G$ es un mapa de conjuntos, entonces no necesitamos ambos $(G,v)$ y $(H,f\circ v)$ en nuestra colección: podemos simplemente tomar $(G,v)$ y si se nos presenta $H$ y $f\circ v$ proyectamos a $G$ y luego usar $f$ para llegar hasta $H$ . Así que realmente sólo necesitamos un grupo de cada clase de isomorfismo, además de todos los mapas de conjuntos de $X$ a ese grupo (y esa colección, para un grupo fijo $G$ es un conjunto).

Sin embargo, esto todavía no es lo suficientemente pequeño, ya que hay grupos de cardinalidad arbitrariamente grande, y por lo tanto, incluso tomando sólo un grupo de cada clase de isomorfismo todavía tendríamos una clase propia. Así que al final no seguiremos este camino (resulta que no importa).

La segunda observación que hay que hacer es que, de hecho, dado $(G,v)$ no necesitamos realmente todo de $G$ Sólo necesitamos $\langle v(X)\rangle$ el subgrupo generado por $v(X)$ . Porque la imagen de $F$ en $G$ será generado por $v(X)$ por lo que la imagen estará dentro de ese subgrupo.

Se trata de una buena observación, porque así se limita el tamaño de los conjuntos generadores que tenemos que considerar. Y ahora tenemos un límite superior fácil para el tamaño de los grupos que necesitamos considerar:

Lema. Dejemos que $G$ sea un grupo, y $S\subseteq G$ un subconjunto de $G$ . Si $G=\langle S\rangle$ entonces $|G|\leq |S|\aleph_0$ .

Prueba. Sabemos que $\langle S\rangle$ consiste en productos finitos de elementos de $S$ y sus inversos. El conjunto de estos productos tiene como máximo $|S|\aleph_0$ elementos, por lo que $G$ tiene como máximo ese número de elementos. $\Box$

Así que, así es como se sortea el problema técnico: fijar un conjunto $M$ de cardinalidad $|X|\aleph_0$ . Consideraremos todos los pares $(G_v,v)$ tal que

1. $G_v$ es un grupo;
2. $v\colon X\to G_v$ es un mapa de conjuntos;
3. $G_v$ es generado por $v(X)$ ;
4. El conjunto subyacente de $G_v$ está contenida en $M$ ;

Llama a la colección de todos esos pares $\mathcal{S}$ . Ahora es fácil comprobar que este es un conjunto.

Esto es lo que a veces se llama "conjunto de soluciones". Tiene la siguiente propiedad:

Dado cualquier grupo $K$ y el mapa de conjunto $w\colon X\to K$ tal que $K=\langle w(X)\rangle$ existe un par $(G_v,v)\in\mathcal{S}$ y un isomorfismo $\phi\colon G_v\to K$ tal que $w = \phi\circ v$ .

Así que ahora procedemos como se ha indicado anteriormente: Dejemos que $P$ sea el producto sobre todos los elementos de $\mathcal{S}$ , $$P = \prod_{(G_v,v)\in \mathcal{S}} G_v.$$ Dejemos que $\pi_v\colon P\to G_v$ sea la proyección sobre el $(G_v,v)$ coordenadas. Porque $\mathcal{S}$ es un conjunto, este producto existe y tiene sentido.

El conjunto subyacente de $P$ es el producto cartesiano de los $G_v$ . Así, las funciones $v\colon X\to G_v$ inducen un mapa de conjuntos único $u\colon X\to P$ tal que $\pi_v\circ u = v$ para todos $(G_v,v)\in\mathcal{S}$ .

Ahora, "recordamos" que $P$ es, de hecho, un grupo, así que dejemos que $F=\langle u(X)\rangle$ sea el subgrupo de $P$ generado por la imagen de $u$ . Afirmo que $(F,u)$ es el grupo libre en $X$ .

En efecto, dejemos que $H$ sea un grupo cualquiera, y que $w\colon X\to H$ sea un mapa de conjuntos. Entonces $K=\langle w(X)\rangle$ es un grupo generado por $w(X)$ y, por tanto, por la propiedad del conjunto de soluciones de $\mathscr{S}$ existe un $(G_v,v)\in\mathcal{S}$ y un isomorfismo $\phi\colon G_v\to K$ tal que $w=\phi\circ v$ . Sea $\iota\colon K\to H$ sea el mapa de inclusión.

Entonces $\iota\circ\phi\circ\pi_v\colon F\to G_v\to K\hookrightarrow H$ es un morfismo de $F$ a $H$ y $$\begin{align*} (\iota\circ\phi\circ\pi_v)\circ u &= \iota\circ\phi\circ (\pi_v\circ u)\\ &= \iota\circ\phi\circ v\\ &= w \end{align*}$$ (porque $\phi\circ v$ es igual a la co-restricción de $w\colon X\to H$ a $K$ ).

Por lo tanto, existe un morfismo $f\colon F\to H$ tal que $f\circ u = w$ . Para demostrar la unicidad, observamos que si $g\colon F\to H$ también satisface $g\circ u=w$ , entonces para cada $x\in X$ tenemos $g(u(x)) = w(x) = f(u(x))$ Así que $g$ y $f$ estar de acuerdo $u(X)$ . Por lo tanto, están de acuerdo en $\langle u(X)\rangle$ por construcción, esto es igual a $F$ Así que $f=g$ .

Por lo tanto, $(F,u)$ tiene la propiedad universal del grupo libre sobre $X$ y por lo tanto es el grupo libre en $X$ (hasta un isomorfismo único). $\Box$

Answer 3

La definición más sencilla del elementos de un grupo libre es el que utiliza palabras reducidas; lo encontró en Ledermann. Esto también conduce a una definición razonablemente sencilla de la multiplicación. Pero esto sólo empuja el problema a otro lugar, a saber, en la verificación de la ley asociativa (una vez demostrada la ley asociativa, se deduce entonces que cada palabra es equivalente a una única palabra reducida).

Personalmente me gusta una prueba topológica de la ley asociativa; esto estará en mi libro sobre $Out(F_n)$ . Primero se construye el árbol $T$ cuyas aristas están orientadas y etiquetadas por los elementos de $X$ , tal que para cada vértice $v$ y cada $x \in X$ hay una única arista entrante y una única arista saliente en $v$ etiquetado con $x$ . A posteriori se observa que este árbol es el espacio de cobertura universal de la cuña de círculos con un círculo por cada generador; pero no se necesita la teoría de los espacios de cobertura universal para construir este árbol, simplemente se construye inductivamente construyendo el radio $n$ vecindad de un vértice base, verificando sobre la marcha que la construcción satisface el axioma del árbol, es decir, que está conectado y no contiene círculos. La ley asociativa en el grupo libre se reduce entonces al hecho de que la operación de concatenar caminos y enderezar el resultado para eliminar el retroceso es una operación asociativa, que se deduce de la simple observación de que dos puntos de un árbol están conectados por un único camino sin retroceso.

Answer 4

Recientemente aprendí una nueva (para mí) forma de demostrar la asociatividad de la multiplicación de palabras reducidas a partir de este artículo del AMS Monthly

Un tratamiento elemental de la construcción del producto libre de Grupos http://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.122.7.690

James E. McClure y Alec McGail

The American Mathematical Monthly, Vol. 122, No. 7 (agosto-septiembre de 2015), pp. 690-692

El artículo se refiere a los productos libres de los grupos, pero por supuesto la técnica se aplica también a los grupos libres.

Muestran que cada palabra tiene un único forma reducida de manera directa y elemental. Entonces la asociatividad se deduce inmediatamente de la asociatividad (fácil) en el monoide libre.

Aquí está la prueba. Utilizaré la notación de Charles Rezk, por lo que las palabras son secuencias finitas de letras, que son elementos de $S \cup S^*$ . Supongamos que una palabra $w$ tiene dos secuencias de reducciones $$w \to w_1 \to \cdots \to w_m,$$ $$w \to w'_1 \to \cdots \to w'_n,$$ donde cada paso $w_i \to w_{i+1}$ es ''la cancelación de un par de algunas letras adyacentes $a$ , $a^*$ '' y la última palabra $w_m$ se reduce (y de forma similar para el $w'_j$ ). Llamamos $w_{i+1}$ un descendiente inmediato de $w_i$ y $w_j$ a descendiente de $w_i$ si $i<j$ . Si $w_i = w'_j$ para cualquier $i$ y $j$ , entonces hemos terminado por inducción en la longitud de la palabra. Así que supongamos que $w_1 \neq w'_1$ . Hay dos casos.

1. Tenemos $$w = (u_1, a, a^*, u_2, b, b^*, u_3),$$ donde el $u_i$ son subpalabras y $a, b$ son letras, y $$w_1 = (u_1, u_2, b, b^*, u_3),$$ $$w'_1 = (u_1, a, a^*, u_2, u_3).$$ Entonces $$\tilde{w} = (u_1, u_2, u_3)$$ es un descendiente común (inmediato) de $w_1$ y $w'_1$ .
2. Tenemos $$w = (u_1, a, a^*, a, u_2),$$ donde el $u_i$ son subpalabras y $a$ es una letra, y $$w_1 = (u_1, a, u_2) = w'_1.$$

En ambos casos, se hace por inducción sobre la longitud de la palabra.

Answer 5

_Lo siguiente es lo que tengo después de haber pasado por "Un curso de Álgebra Universal" por Burris et al. utilizando la descripción de un grupo dado aquí . Es sólo un boceto. Consulte el texto siempre que sea necesario._

Trabajamos en el tipo $\mathcal{G}=\{\cdot, \sim, e\}$ , donde $\cdot\in\mathcal{G}_2$ es una operación binaria, $\sim\in\mathcal{G}_1$ es una operación unitaria, y $e\in\mathcal{G}_0$ es una operación nula, todo ello sujeto a $$\begin{align} x\cdot (y\cdot z)&=(x\cdot y)\cdot z,\tag{associativity} \\ e\cdot x&=x=x\cdot e,\text{ and}\tag{identity}\\ x\cdot(\sim x)&=e=(\sim x)\cdot x.\tag{inverses}\end{align}$$

Definición 1: Dejemos que $X$ sea un conjunto de (distintos) variables . El conjunto $T(X)$ de términos de tipo $\mathcal{G}$ en $X$ es el conjunto más pequeño s.t.

• $X\cup\{e\}\subseteq T(X)$ y
• Si $p_1, \dots , p_n\in T(X)$ y $f\in\mathcal{G}_n$ entonces el cadena $f(p_1, \dots , p_n)\in T(X)$

Definición 2: Dado un grupo $\mathbb{G}=\langle G, \{\cdot^{\mathbb{G}}, \sim^{\mathbb{G}}, e^{\mathbb{G}}\}\rangle$ (es decir, un álgebra de tipo $\mathcal{G}$ ) y un $n$ -término secundario $p(x_1, \dots , x_n)$ de tipo $\mathcal{G}$ en $X=\{x_i\mid i\in I\}$ , algunos $I$ definir el función del término de $\mathbb{G}$ correspondiente a $p$ , denotado como $p^{\mathbb{G}}: G^n\to G$ así.

• Si $p$ es una variable $x_i$ entonces $p^{\mathbb{G}}(a_1, \dots , a_n)=a_i.$
• Si $p$ es de la forma $p_1(a_1, \dots , a_n)\cdot p_2(a_1, \dots , a_n)$ , $\sim p_1(a_1, \dots , a_n)$ o $e$ entonces $p^{\mathbb{G}}(a_1, \dots , a_n)$ es $p_1^{\mathbb{G}}(a_1, \dots , a_n)\cdot p_2^{\mathbb{G}}(a_1, \dots , a_n)$ , $\sim p_1^{\mathbb{G}}(a_1, \dots , a_n)$ o $e^{\mathbb{G}}$ .
• Si $p=f\in\mathcal{G}$ entonces $p^{\mathbb{G}}=f^{\mathbb{G}}$ .

Definición 3: El álgebra de términos de tipo $\mathcal{G}$ en $X$ , denotado como $\mathbb{T}(X)$ tiene como conjunto subyacente $T(X)$ y tiene las operaciones fundamentales $$f^{\mathbb{T}(X)}:(p_1, \dots , p_n)\mapsto f(p_1, \dots , p_n)$$ para $f\in\mathcal{G}_n$ y $p_i\in T(X)$ para todos $i\in \overline{1, n}$ . ( NB: Desde $\mathcal{G}_0\neq\emptyset$ , $\mathbb{T}(\emptyset)$ existe).

El grupo libre $F_X$ en $X$ es exactamente $\mathbb{T}(X)$ (hasta el isomorfismo).

Ver Ejemplo 1 , p. 74, Ibid .

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Por favor, corríjanme si me equivoco.