Si $a,b\in\mathbb{Z}$, y si $a+b\sqrt{2}$ tiene una raíz en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, entonces la raíz se encuentra en realidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Question

Estoy trabajando mi camino a través de un clásico de la geometría libro por Hartshorne ahora, pero este problema que apareció en una sección que me estoy leyendo. Es Problema 13.10 de Hartshorne de la Geometría de Euclides y más Allá de si eres curioso.

De todos modos, el problema de los estados:

Si $a,b\in\mathbb{Z}$, y si $a+b\sqrt{2}$ tiene una raíz cuadrada en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, entonces la raíz cuadrada es en realidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

Yo no soy super familiarizado con el álgebra, por lo que estoy teniendo problemas en la interpretación de la pregunta, pero me gustaría saber cómo resolverlo.

Miré $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ en la wikipedia, y parece que es el conjunto de $\{a+b\sqrt{2}\ |\ a,b\in\mathbb{Q}\}$. No pude encontrar $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, pero supongo que es el conjunto de $\{a+b\sqrt{2}\ |\ a,b\in\mathbb{Z}\}$.

Así que si $a+b\sqrt{2}$ tiene una raíz cuadrada en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ significa que existe una $c+d\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ tal que $$ (c+d + \sqrt{2})^2=c^2+2d^2+2cd\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}. $$ Esto implica (creo?) que $c^2+2d^2=a$$2cd=b$. Si este es el camino correcto, es ahí, entonces, de algún modo a la conclusión de que la $c$ $d$ son de hecho los números enteros? Gracias.

Por cierto, es este ejercicio se relacionan fácilmente con algún aspecto de la geometría clásica? Parece una especie de fuera de la azul para mí.

Answer 1

La primera de todas las $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es el más pequeño campo que contiene $\mathbb{Q}$ $\sqrt{2}$ donde $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es el más pequeño anillo que contiene a$\mathbb{Z}$$\sqrt{2}$. (Que está entre corchetes significa anillo, entre paréntesis significa campo).

De lo que usted tiene, estoy seguro de que se puede concluir que $c$ $d$ son enteros. Aquí es lo que yo haría para encontrar directamente a:

Deje $c=\frac{p}{q}, d=\frac{r}{s}$$gcd(p,q)=1$$gcd(r,s)=1$. Desde $cd=\frac{pr}{qs}$ es un número entero, esto implica que $qs$ divide $pr$ y debido a las condiciones a $gcd(p,q)=1$ y $gcd(r,s)=1$, $qm=r$ y $sn=p$, $n$ $m$ enteros.

Y sabemos $a=\frac{s^2n^2}{q^2}+2\frac{q^2m^2}{s^2}=\frac{s^4n^2+2q^4m^2}{q^2s^2}$ es un número entero. Por lo tanto $q^2s^2$ divide $s^4n^2+2q^4m^2$. Desde $q^2$ divide el segundo término y toda la cosa, se debe dividir el primer término, y lo mismo con $s^2$. Pero desde $q^2$ $s^2n^2$ son relativamente primos, esto implica $q^2$ es 1, y el mismo de la siguiente manera para $s$.

Estoy bastante seguro de que hay un limpiador de manera de hacer esto usando el Lema de Gauss, pero esto es algo que usted puede trabajar directamente, que es también agradable.

Answer 2

Primera $\rm\ 2\: c^2\: $ veces $\rm\ c^2+2\ d^2 =\: a\ $ rendimientos $\rm\ 2\: c^4 + b^2 =\: 2\: a\ c^2\ $ por lo tanto $\rm\ 2\: c\in \mathbb Z\ $ por la Raíz Racional de la Prueba.

La próxima $\:4\ $ veces $\rm\ 2\ d^2 = \:a-c^2\: \ \to\ \ 8\ d^2 = \:4\ a\ - (2\:c)^2 \in \mathbb Z\ \:$ $\rm\: 2\: d\in \mathbb Z\ $

Finalmente, $\rm\: 4\ a - 2\ (2\: d)^2 \:=\: (2\:c)^2\: \Rightarrow\ 2\:|\:(2\ c)^2\Rightarrow 2\: |\: 2\: c\ \Rightarrow\ c\in \mathbb Z\ \Rightarrow\ d\in \mathbb Z\quad\quad$ QED