Intersección vacía y unión vacía

Question

Si $A_\alpha$ son subconjuntos de un conjunto $S$ entonces

$\bigcup_{\alpha \in I}A_\alpha$ = "todos $x \in S$ para que $x$ está en al menos una $A_\alpha$ "

$\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha$ = "todos $x \in S$ para que $x$ está en todos $A_\alpha$ "

Es la convención que $\bigcup_{\alpha \in \emptyset}A_\alpha = \emptyset$ y $\bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_\alpha = S$ .

Pero si $x$ está en $\bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_\alpha = S$ entonces $x$ está en todos $A_\alpha$ con $\alpha \in \emptyset$ y por lo tanto $x$ está ciertamente en al menos una $A_\alpha$ con $\alpha \in \emptyset$ . Pero entonces $x \in \bigcup_{\alpha \in I}A_\alpha$ .

¿Puede alguien ayudarme y decirme qué pasa con esto? Gracias.

Answer 1

Algunos textos lo consideran una convención, pero en realidad es un cómputo.

Para el conjunto fijo $S$ estamos ante el conjunto $\mathcal P(S)$ el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ . Con las operaciones de intersección y unión (de muchos subconjuntos arbitrarios) el conjunto $\mathcal P(S)$ es lo que se conoce como una red completa (no te preocupes si no sabes lo que significa).

En primer lugar, se puede argumentar intuitivamente: cuantos más subconjuntos de $S$ que se cruzan, más pequeña es la intersección. O bien, cuantos menos subconjuntos se intersecten, mayor será la intersección. Por lo tanto, la intersección de ningún subconjunto, la menor cantidad de conjuntos que puedes intersecar, debería ser el mayor subconjunto posible. Es decir, $\bigcap_{i\in \emptyset}A_i=S$ . Del mismo modo, cuantos menos subconjuntos se tomen como unión, más pequeña será la unión. Así, la unión de ningún subconjunto debe ser el conjunto más pequeño posible. Es decir, $\bigcup _{i\in \emptyset }A_i=\emptyset$ .

Ahora, para hacer las cosas más formales, vamos a definir la intersección y la unión en $\mathcal P(S)$ . La definición será equivalente a las definiciones de la teoría de conjuntos, pero sólo hará uso de la relación de orden parcial de inclusión. Dada una colección $\{A_i\}_{i\in I}$ de subconjuntos de $S$ su intersección es el mayor subconjunto de $S$ que contiene cada $A_i$ (nótese que esto es decir que la intersección es un límite inferior mayor). Del mismo modo, la unión de la familia de subconjuntos es el subconjunto más pequeño de $S$ que contiene cada $A_i$ (nótese que esto dice que la unión es un límite superior mínimo). Por cierto, este punto de vista apunta muy claramente a una dualidad entre la unión y la intersección.

Así que ahora, la intersección de ningún subconjunto es el mayor subconjunto de $S$ que está contenido en cada uno de los subconjuntos dados. No hay subconjuntos dados en absoluto, por lo que (vacuamente) cualquier subconjunto $B\subseteq S$ está contenida en cada una de las inexistentes $A_i$ . El mayor de ellos es $S$ , probando que $\bigcap_{i\in \emptyset}A_i=S$ . Del mismo modo, la unión de ningún subconjunto es el subconjunto más pequeño de S que contiene cada uno de los subconjuntos dados. No se dan subconjuntos, por lo que cualquier subconjunto $B\subseteq S$ contiene cada uno de los $A_i$ . El más pequeño de ellos es $\emptyset$ Por lo tanto probando que $\bigcup_{i\in \emptyset}A_i=\emptyset$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que el hecho de que

$$\bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_\alpha = S$$

es no es convención - se deduce de la definición

$$\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha = \{ x \in S : \text{$ x \N en A_\Nalpha $, for all $ \alpha \in I $}\}.$$

Esto se entiende mejor si se pregunta cuando es que para un determinado $x \in S$ tenemos $x \notin \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_\alpha$ . Esto sólo puede ocurrir si existe $\alpha \in \emptyset$ tal que $x \notin A_{\alpha}$ . Desde $\emptyset$ no tiene elementos, no puede haber tal $\alpha$ .

PS Se puede evitar introducir un conjunto de índices (algo arbitrario) en una intersección, digamos. En su lugar, se fija un conjunto $S$ , tome un subconjunto $\mathfrak{S}$ de $\mathcal{P}(S)$ y definir $$\bigcap \mathfrak{S} = \{ x \in S : \text{$ x \N en A $ for all $ A \Nen \Nmathfrak{S} $} \}.$$ Entonces el argumento anterior se convierte en $$\bigcap \emptyset = \{ x \in S : \text{$ x \N en A $ for all $ A \N en \N conjunto vacío $} \} = \{ x \in S : \ \} = S,$$ ya que no hay $A$ a considerar aquí.

Answer 3

Alguna manipulación simbólica puede ayudar, para ver lo que NO está en esos conjuntos,

$x \in \ \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \ \Longleftrightarrow \forall\alpha\in I,\ x\in A_\alpha \\ x \in \ \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \ \Longleftrightarrow \forall\alpha, \ \alpha\in I\rightarrow\ x\in A_\alpha \\ x \notin \ \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \ \Longleftrightarrow \exists\alpha: \ \alpha\in I\ \wedge\ x\notin A_\alpha \\ x \notin \ \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_\alpha \ \Longleftrightarrow \exists\alpha: \ \alpha\in \emptyset\ \wedge\ x\notin A_\alpha$

Answer 4

Tenga en cuenta que en realidad, $\cap_{i\in \emptyset} A_i = S$ no es una convención, en realidad es un error.

La afirmación correcta sería $\cap_{i\in \emptyset} A_i = \emptyset$ o $\bigwedge_{i\in \emptyset} A_i = S$ , donde $\bigwedge$ denota el mayor límite inferior en la red completa $(\mathcal{P}(S), \subset)$ .

¿Por qué son ciertas? Bueno, primero hay que tener en cuenta que $\cap_{i\in \emptyset} A_i = S$ simplemente no puede sea cierto. En el LHS tenemos una intersección de conjuntos sin mención de $S$ (el $A_i$ son subconjuntos de $S$ pero también son subconjuntos de $S\cup \{S\}$ o Dios sabe qué), y en el lado derecho tenemos un conjunto $S$ que casualmente contiene el $A_i$ 's. Así que eso está mal porque entonces, $\cap_{i\in \emptyset} A_i = S\cup\{S\}$ también sería cierto (el $A_i$ s son subconjuntos de $S\cup\{S\}$ Después de todo), lo cual es absurdo.

Así que $\bigcap_{i\in I}A_i$ es en realidad una abreviatura de $\bigcap \{A_i \mid i\in I\}$ que es por definición $\{x\in \displaystyle\bigcup_{i\in I} A_i \mid \forall i\in I, x\in A_i\}$ , donde $\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i$ es la abreviatura de $\bigcup\{A_i\mid i\in I\}$ que es $\{x\mid \exists i\in I, x\in A_i\}$ (su existencia viene dada por el axioma de la reunión). Pero entonces, si $I=\emptyset$ este último está vacío, y también lo están todos sus subconjuntos, en particular $\cap_{i\in \emptyset} A_i$ que debe estar vacío.

Sin embargo, en el citado entramado de completamiento, $\cap$ y $\wedge$ coinciden en todos los conjuntos pero el conjunto vacío. Es fácil ver que en una red completa, el mayor límite inferior del conjunto vacío es el elemento máximo de la red. Por tanto, $\bigwedge_{i\in \emptyset}A_i = \bigwedge\emptyset = S$ . Tenga en cuenta que aquí, $\bigwedge$ hace dependen de $S$ así que esto tiene mucho sentido.

Sin embargo, en la práctica, ya que $\bigwedge$ y $\cap$ coinciden tan a menudo, que ignoramos esas sutilezas y las declaramos iguales, lo que lleva al abuso de la notación $\bigcap_{i\in \emptyset}A_i = S$ que es lo que las otras respuestas le dicen esencialmente. Pero esto es un abuso de la notación (según las definiciones habituales, etc.)

Answer 5

Estas convenciones provienen del hecho de que $(\mathcal P (S), \cup, \emptyset)$ y $(\mathcal P (S), \cap, S)$ son monoides.

Por lo tanto, esas convenciones son sólo las habituales $\sum_{k \in \emptyset} k = 0$ o $\prod_{k \in \emptyset} k = 1$ que sin duda sabe por $(\mathbb N, +)$ o $(\mathbb Z, \times)$ por ejemplo.