Finito de grupo con la condición de que $H\subseteq K $ o $K\subseteq H$ en sus subgrupos

Question

Deje $G$ ser un grupo finito tal que para cada dos subgrupos $H$ $K$ tenemos $H\subseteq K $ o $K\subseteq H$.

Es $G$ es necesariamente cíclico?

Es el orden de $G$ es el poder de los números primos?

Answer 1

Supongamos $G$ no es cíclico. Tomar un elemento $x \in G$ de la máxima orden. Desde $\langle x \rangle \neq G$ hay un $y \in G \setminus \langle x \rangle$. Ahora ni $\langle x \rangle \subseteq \langle y \rangle$ ni $\langle y \rangle \subseteq \langle x \rangle$ mantiene.

Answer 2

Sugerencia: Elija un elemento $g\in G$ de mayor orden. Deje $x$ cualquier elemento en $G$ . Nos encontramos con que $\langle g\rangle\leq \langle x\rangle$ o $\langle x\rangle \leq \langle g \rangle$. Desde $g$ cuenta con el mayor orden nos encontramos con que $\langle x \rangle \leq \langle g\rangle$. ¿Qué implica esto ?

Si $p,q$ son dos primos que dividen a la orden de $G$, entonces sabemos por Cauchy teorema de que existe 2 elementos $x,y$ orden $p,q$ respectivamente. Desde $\langle x\rangle\leq\langle y\rangle$ o $\langle y\rangle\leq \langle x\rangle$. Por Lagrange del teorema, obtenemos $p|q$ o $q|p$. Por lo tanto, $p=q$ porque $p,q$ son números primos.

Answer 3

Si existen dos diferentes números primos $p,q$ dividiendo $|G|$, entonces ninguno de los $\langle x \rangle \subset \langle y \rangle$ ni $\langle y \rangle \subset \langle x \rangle$ si $\text{ord}(x)=p$$\text{ord}(y)=q$. Por lo tanto, $G$ $p$- grupo.

En particular, $Z(G) \neq \{1\}$, por inducción, $G/Z(G)$ es cíclico. Por lo tanto, $G$ es un abelian $p$-grupo, por lo $G$ es un producto directo de la cíclica $p$-grupos; si hay más de un grupo cíclico, entonces usted puede encontrar fácilmente los dos subgrupos de contradecir a la propiedad.