¿Cómo puedo demostrar que $\left|\sum_{n=1}^\infty\frac{x}{n^2+x^2}\right|\leq\frac{\pi}{2}$ cualquier $x\in{\Bbb R}$?

Question

$$\left|\sum_{n=1}^\infty\frac{x}{n^2+x^2}\right|\leq\frac{\pi}{2}$$ is definitely true for $x=0$. I don't see how it is true for any $x\in{\Bbb R}$.

$\frac{\pi}{2}=\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}dx$ puede ayudar, creo. Pero no sé cómo seguir.

Answer 1

Usted puede volver a escribir la suma de $$ \frac {1}{x}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(\frac n x)^2+1} $$ Debido a $f(n)=\frac1{n^2+1}$ es estrictamente decreciente para positivo (reales) $n$, sabemos que \begin{align} \frac 1x\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(\frac nx)^2+1}&\leq \frac 1x\int_{n=0}^\infty\frac1{(\frac nx)^2+1} dn\\ &=\frac 1x \left(x \frac \pi 2\right)=\frac \pi 2 \end{align} Para la integral, he utilizado la sustitución de $m=\frac nx$, y debido a $dm=\frac 1x dn$, se obtiene el factor de $x$ en el resultado.

Answer 2

Al mostrar que la suma es exactamente

$$\frac{\pi}{2} \operatorname*{coth}{(\pi x)} - \frac1{2 x}$$

Esto se puede hacer a través de, por ejemplo, el teorema de los residuos. Tenga en cuenta que la expresión está limitada desde arriba por $\pi/2$ $x \to \infty$

Answer 3

Sabemos que $$\left|\sum_{n=1}^\infty\frac{x}{n^2+x^2}\right| < \int_0^\infty{\frac{x}{n^2+x^2}dn}$$ for any $x\in{\Bbb R}$

La evaluación de la integral obtenemos $$\begin{align} \int_0^\infty{\frac{x}{n^2+x^2}dn} &= tan^{-1}\bigg(\frac{n}{x}\bigg)\bigg|_0^\infty \\ &= \lim_{t\to\infty} tan^{-1}\bigg(\frac{t}{x}\bigg) \\ &= \frac{\pi}{2} \end{align}$$

Por lo tanto, $$\left|\sum_{n=1}^\infty\frac{x}{n^2+x^2}\right| < \frac{\pi}{2}$$