¿Por qué una matriz de indeterminados es diagonalizable?

Question

Fijar $n^2$ indetermina $t_1,\dots, t_{n^2}$ . Dejemos que $A$ sea el cierre algebraico de $\mathbb C(t_1,\dots, t_{n^2})$ . Considere la $n\times n$ matriz sobre $A$ cuyas entradas son precisamente $t_1, t_2,\dots, t_{n^2}$ . ¿Por qué es diagonalizable?

Siento que me falta algo obvio. Mi motivación para hacer esta pregunta viene de un comentario en esta respuesta de Mathoverflow que da una prueba hábil del teorema de Cayley-Hamilton. Intentaré completar los detalles; por favor, avisadme si hay alguna laguna. Si sabemos que esto es cierto, entonces como el teorema de Cayley-Hamilton es fácil de verificar para operadores diagonalizables, sabemos que la matriz $M$ arriba aniquila su polinomio característico. Si el polinomio característico sobre $A$ es $p(T)$ entonces sabemos que $P(M)=0$ . En particular, cada entrada de $P(M)$ es $0$ . Pero cada entrada es un polinomio en las indeterminaciones, que acabamos de ver que es igual a $0$ . Así que no importa qué valores de $\mathbb C$ que pusimos para el $t_i$ cada entrada debe desaparecer. Esto significa que toda matriz sobre $\mathbb C$ aniquila su polinomio característico.

Tal vez haya una forma más elegante de terminar; mi justificación parece inadecuada, pero no consigo saber por qué. También agradecería cualquier comentario al respecto. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $P(x)$ sea el polinomio característico de $A$ El $n\times n$ matriz cuyas entradas son las $t_i$ 's. Como la matriz es genérica, el polinomio debe ser genérico también, y por lo tanto se divide en el cierre algebraico. Más detalladamente, supongamos que no se divide, entonces algún factor lineal aparece dos veces. Pero ahora hay que rellenar los valores particulares de $t_i$ de $\mathbb C$ para la que se sabe que la matriz resultante no tendrá una raíz repetida en el polinomio característico. Dado que la $t_i$ son independientes sobre $\mathbb C$ , introduciendo los valores en estos $t_i$ en el polinomio $P(x)$ es lo mismo que introducir primero estos valores en la matriz y calcular el polinomio característico de la misma. En símbolos, $P_{A\mid t_i=v_i}(x)=P_A(x)\mid _{t_i=v_i}$ . Así que la suposición de que $P(x)$ no se divide conduce a una contradicción.

Ahora bien, como $P(x)$ divide la matriz $A$ es diagonalizable sobre el cierre algebraico, y esto es suficiente para el resto de la prueba.

Nótese que esta bonita técnica demostrará el Cayley-Hamilton sobre cualquier campo, no sólo $\mathbb C$ . Lo bueno de esta demostración es que no es computacional, sino que apunta a la "verdadera" razón por la que la afirmación es válida para una matriz general sólo por el hecho de que es válida para matrices diagonalizables (para las que es trivial). El truco consiste en tratar momentáneamente tu matriz como una matriz genérica, y sólo recordar que realmente tenías valores como entradas para empezar, al final. Por suerte, una matriz genérica presenta el comportamiento más genérico: la diagonalizabilidad.

Una prueba similar, pero más analítica esta vez, procederá a perturbar ligeramente las entidades de una matriz dada para obtener una genérica.

Answer 2

Si dicha matriz $A$ no es diagonalizable, entonces su polinomio característico $f(x, t_1, \ldots, t_{n^2})$ tendría raíces repetidas. Pero entonces, al especializar el $t_i$ a cualquier valor particular de $\mathbb{C}$ Esto implicaría que cada matriz sobre $\mathbb{C}$ tiene raíces repetidas.

Si te preocupa lo que ocurre cuando te especializas después de las raíces contiguas en el cierre algebraico de $\mathbb{C}(\{t_i\})$ se puede frasear el argumento sin salir del campo base. El polinomio $f(x,t_1,t_2,\ldots,t_{n^2})$ tiene raíces repetidas si el máximo común divisor mónico de $f$ y $\partial f/\partial x$ tiene un grado positivo. Entonces lo mismo ocurrirá con cualquier especialización de $f$ .

Answer 3

Considera más bien $F$ el cierre algebraico de $\Bbb Q(t_{ij})$ y algunos números algebraicamente independientes $\pi_{ij}\in\Bbb C$ de tal manera que el $\vert\pi_{ii}\vert$ son muy grandes en comparación con la diagonal $\pi_{ij}$ y se hace dramáticamente más grande a medida que $i$ va de $1$ a $n$ . Dicha matriz será diagonalizable sobre $\Bbb C$ con valores propios simples (este es un argumento de disco de Gershgorin).

El polinomio característico $\chi(T)$ de $A$ se divide en $F$ por lo que hay $r_1,\dots,r_n\in F$ tal que, hasta la firma, $$\chi(T)=\prod_{i=1,\dots,n} (T-r_i)$$ El homomorfismo de campo que envía el $t_{ij}$ a la $\pi_{ij}$ (por eso elegimos el $\pi_{ij}$ algebraicamente independiente sobre $\Bbb Q$ ) se extiende a una incrustación $F\hookrightarrow\Bbb C$ y por la simplicidad de los valores propios de la matriz $(\pi_{ij})$ las imágenes del $r_1,\dots,r_n$ en $\Bbb C$ debe ser distinta. Así, el polinomio característico de $A$ tiene raíces simples y $A$ es diagonalizable sobre $F$ .