Intuitivamente (desde el punto de vista de Análisis de Fourier),
Yo esperaría que el primer zeta función de $P(s)=\zeta_P(s)$
para ser indefinido en el eje imaginario, como se explica a continuación.
Wikipedia dice que "las singularidades de clúster cerca de todos los puntos de la"
la línea de $\Re s=0$, lo que también los límites de la crítica de la tira
de la (completo) de Riemann zeta función de la izquierda en el plano complejo.
Tal vez debería llamar a las sumas parciales ($p\leq x$),
que usted está tratando, "incompleta" o "truncado"
el primer zeta función.
Para$s=it$$0\neq t\in\mathbb{R}$$0\neq k\in\mathbb{Z}$,
$$
p^{-k}=e^{-ikt\log p}=\cos(kt\log p)-i\sen(kt\log p)
$$
de modo que para una fija $k$, la suma de los números primos $p$
$$
P(ks)
=\sum_{p\text{ prime}}p^{-k}
=\sum_{p}e^{-ikt\log p}
=\sum_{p}e^{-ik\theta_p}
$$
debe comportarse como un "paseo aleatorio" con la unidad (o "quantum") pasos
pero cuyas instrucciones $-k\theta_p$ no son discretas, sino, más bien, continua, "incoherente" o "decoherent" (en el espectral/polarización/quantum física sentido, en el sentido de comprimido de detección, donde su importancia se conecta con el concepto de funciones de base en el análisis de Fourier, o en el sentido general de significado no correlacionados), aperiódicos y disminuyendo, ya que
$$
\theta_p=2\pi
\left(
\frac{t\log p}{2\pi}-\left\lfloor
\frac{t\log p}{2\pi}\right\rfloor
\right)
$$
donde la tasa de cambio de dirección (modulo $2\pi$ podemos ignorar los saltos)
$
\frac{\partial}{\partial p}\theta_p=\frac{t}{p}
$
disminuye en magnitud (deccelerates), poco a poco
(y, por tanto, de la autocorrelación entre los términos aumenta)
para $p$ lo suficientemente grande.
Desde cada una de las $\log p$ es irracional (es de suponer que también trascendental)
y cada una de las $\theta_p$ es probable que también lo irracional
(excepto, quizás, para un valor de $p$, debido a $t$),
las instrucciones no se repita y por lo tanto son densos modulo $2\pi$,
de manera que la suma o valor esperado debe ser indefinido.
Compare esto con una Serie de Fourier o la Jacobi Theta función.
Yo no esperaría convergencia de la secuencia de sumas parciales,
a menos que algún tipo de simetría fueron explotados (por ejemplo, entre $k$ & $m$)
o impuesta, de alguna manera, por ejemplo, de forma análoga a
Cauchy principio los valores de las integrales impropias,
o tal vez algún otro tipo de regularización.
Debido a la irracionalidad de la $\log p$ por cada $p$,
Yo también no esperar que cualquier simetría truco para $m,n$
como uno ve, por ejemplo, cuando se calcula que
$\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ formulario de una base ortonormales
en el espacio de Hilbert.
Si nos dieron una función de $f\in L^2([-\pi,\pi])$
de modo que la secuencia de coeficientes de Fourier
$\{c_k=\hat{f}\}$ $\mathbb{C}$
tiende hacia cero como $k\rightarrow\pm\infty$,
entonces podríamos forma convergente serie de Fourier
el intercambio y el orden de las sumatorias
en la doble sumatoria de abajo para obtener
$$
\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_kP(ks)=
\sum_{k\in\mathbb{Z}}
\sum_{p}c_ke^{-ik\theta_p}=
\sum_{p}
\sum_{k\in\mathbb{Z}}
c_ke^{-ik\theta_p}=
\sum_{p}f(-\theta_p),
$$
pero esto no sería permitido por $c_k\equiv1$
desde entonces $f$ no sería integrable.
El truncado sumas de $P(ks)$,
excepto por ser determinista (y los ángulos $\theta_p$ aperiódica),
también tienen cierta semejanza con quantum paseo aleatorio
(ver la discusión en torno a la ecuación 44 en el vinculado documento de introducción).
Una característica que diferencia entre lo clásico y lo cuántico paseo aleatorio
es que el valor esperado $\mathbb{E}|X_n|$
es $O(\sqrt n)$ para el clásico, pero $O(n)$ para quantum paseo aleatorio,
es decir, QRWs son balísticos en lugar de difusivo.
En este contexto, sería interesante ver
si los resultados muestran balísticos-difusivo "crossover".
